Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(b) integral raizx^2-a^2x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raizx^2-a^2x , dx. Esse exercício é sobre integrais indefinidas e vamos usar a técnica de substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar substituições que envolvem funções trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos raizx^2 - a^2 no integrando, o que sugere uma substituição trigonométrica adequada para expressões da forma raizx^2 - a^2. Nesse caso, usamos a substituição x = a sec theta. Essa substituição aproveita a identidade trigonométrica sec^2theta - 1 = tan^2theta, que vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Com a substituição x = a sec theta, precisamos encontrar dx em termos de theta. A derivada de x em relação a theta é:
dx = a sec theta tan theta , dtheta
Agora, vamos substituir x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raiz(a sec theta)^2 - a^2a sec theta cdot a sec theta tan theta , dtheta
Simplificando o radical:
raiza^2 sec^2 theta - a^2 = raiza^2 (sec^2 theta - 1) = raiza^2 tan^2 theta = a tan theta
Agora, a integral fica:
integral a tan thetaa sec theta cdot a sec theta tan theta , dtheta = integral a tan^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar a tan^2 theta em relação a theta. Sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, então:
integral a (sec^2 theta - 1) , dtheta = a integral sec^2 theta , dtheta - a integral 1 , dtheta
Integrando termo a termo:
a tan theta - a theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = a sec theta, então sec theta = xa e tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raizx^2 - a^2a. Além disso, theta = sec^-1 ( xa ).
Substituindo de volta:
a cdot raizx^2 - a^2a - a cdot sec^-1 ( xa ) + C = raizx^2 - a^2 - a sec^-1 ( xa ) + C

Resposta

integral raizx^2-a^2x , dx = raizx^2 - a^2 - a sec^-1 ( xa ) + C

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