Calcule as integrais definidas:
(b) integral0^pi sen^2 x cos 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e integração. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^2 x = 1 - cos 2x2 usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
integral0^pi sin^2 x cos 3x , dx = integral0^pi 1 - cos 2x2 cos 3x , dx
Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Vamos distribuir o 12 integral0^pi (1 - cos 2x) cos 3x , dx = 12 ( integral0^pi cos 3x , dx - integral0^pi cos 2x cos 3x , dx ) dentro da integral:

Passo 4

Agora, calculamos a primeira integral:
integral cos 3x , dx = sin 3x3
Avaliada de sin 3x3 |0^pi = sin 3pi3 - sin 03 = 0 - 0 = 0 a :

Passo 5

Vamos resolver a segunda integral cos A cos B = 12 [cos (A+B) + cos (A-B)] usando a identidade do produto para soma:
cos 2x cos 3x = 12 [cos (5x) + cos (-x)] = 12 [cos 5x + cos x]
Aplicando isso:
integral0^pi cos 2x cos 3x , dx = 12 integral0^pi (cos 5x + cos x) , dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo:
integral cos 5x , dx = sin 5x5
integral cos x , dx = sin x
Avaliada de 12 ( sin 5x5 |0^pi + sin x |0^pi ) = 12 ( sin 5pi - sin 05 + (sin pi - sin 0) ) = 12 (0 + 0) = 0 a :

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
12 ( 0 - 0 ) = 0

Resposta

O valor da integral definida é .

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