Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(f) integral 5 xraizx^2-25 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida da função em relação a . Vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que nos ajuda a resolver integrais que envolvem expressões com .

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica. Observando a expressão x = 5 sec(theta) , percebemos que ela se assemelha à forma , onde . Para esse caso, usamos a substituição , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial dx = 5 sec(theta) tan(theta) dtheta em termos de . Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos integral 5xraizx^2 - 25 dx = integral 5 cdot 5 sec(theta)raiz25 sec^2(theta) - 25 cdot 5 sec(theta) tan(theta) dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz25 sec^2(theta) - 25 = raiz25 (sec^2(theta) - 1) = raiz25 tan^2(theta) = 5 tan(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral 25 sec(theta)5 tan(theta) cdot 5 sec(theta) tan(theta) dtheta = integral 25 sec^2(theta) dtheta

Passo 6

Agora, integramos 25 integral sec^2(theta) dtheta = 25 tan(theta) + C :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Precisamos voltar para a variável x = 5 sec(theta) implies sec(theta) = x5 implies tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x5)^2 - 1 = raizx^2 - 255 . Sabemos que:
25 tan(theta) = 25 cdot raizx^2 - 255 = 5 raizx^2 - 25
Então:

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral 5xraizx^2 - 25 dx = 5 raizx^2 - 25 + C

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