Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável x e com integrações na variável y. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
© y = x^2 + 1, y = x - 2, x = 0 e x = 5.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , , e . Vamos usar o método de integração em relação a para encontrar essa área. Para isso, precisamos identificar quais funções estão acima ou abaixo no intervalo considerado e estabelecer os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as curvas e se interceptam no intervalo de a . Para isso, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
O discriminante dessa equação quadrática é . Como , as curvas não se interceptam nesse intervalo. Portanto, precisamos analisar qual função está acima da outra de a .

Passo 3

Vamos avaliar as funções nos pontos extremos do intervalo:
Para :
Para :
Observamos que está acima de nesse intervalo.

Passo 4

A fórmula para calcular a área entre duas curvas, quando uma está acima da outra, é:
Á
Onde:
  • é a função de cima ( )
  • é a função de baixo ( )
  • e são os limites de integração (0 e 5, respectivamente)

Passo 5

Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Á
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Integrando termo a termo:
Á
Vamos calcular os valores nos limites de integração.

Passo 7

Para :
Para :
Subtraindo os valores:
Á
Para simplificar, vamos converter todos os termos para o mesmo denominador (6):
Somando:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , , e é unidades de área (aproximadamente 44,17).

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