Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
©
e
.
©
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
,
e
. Vamos usar o método de integração em relação a
para encontrar essa área. Para isso, precisamos identificar quais funções estão acima ou abaixo no intervalo considerado e estabelecer os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as curvas
e
se interceptam no intervalo de
a
. Para isso, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
O discriminante dessa equação quadrática é
. Como
, as curvas não se interceptam nesse intervalo. Portanto, precisamos analisar qual função está acima da outra de
a
.
Passo 3
Vamos avaliar as funções nos pontos extremos do intervalo:
Para
:
Para
:
Observamos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
A fórmula para calcular a área entre duas curvas, quando uma está acima da outra, é:
Onde:
-
é a função de cima ( ) -
é a função de baixo ( ) -
e são os limites de integração (0 e 5, respectivamente)
Passo 5
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Integrando termo a termo:
Vamos calcular os valores nos limites de integração.
Passo 7
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Para simplificar, vamos converter todos os termos para o mesmo denominador (6):
Somando:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
,
,
e
é
unidades de área (aproximadamente 44,17).