Calcule as integrais indicadas abalxo. Faça gráficos e indique, em cada caso, a área que a integral representa: (4,0 pontos):
\int_{1}^{3} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{1}^{3}5x\,dx
e ainda a interpretação geométrica da área sob a curva da função y=5x no intervalo [1,3]. Para isso, vamos usar a técnica de integração de polinômios e o conceito de área como integral definida.

Passo 2

Identificamos que a função a ser integrada é 5x, um polinômio de grau 1. Uma antiderivada (primitiva) de 5x é
F(x)=\frac{5}{2}\,x^2,
pois
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{5}{2}x^2\Bigr)=5x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{3}5x\,dx =F(3)-F(1) =\frac{5}{2}\cdot 3^2-\frac{5}{2}\cdot 1^2 =\frac{5}{2}(9-1) =\frac{5}{2}\times 8 =20.

Passo 4

No plano xy, o gráfico de y=5x é uma reta que passa pela origem e cresce com inclinação 5. Entre x=1 e x=3, a região sob essa reta e acima do eixo x forma um trapézio. As alturas desse trapézio são
f(1)=5\quad\text{e}\quad f(3)=15,
e a largura (base) é 3-1=2. Portanto, sua área é
A = \frac{f(1)+f(3)}{2}\times (3-1) = \frac{5+15}{2}\times 2 =20,
o que confirma o valor da integral.

Resposta

\int_{1}^{3}5x\,dx = 20.

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