Calcule as integrais indicadas abalxo. Faça gráficos e indique, em cada caso, a área que a integral representa: (4,0 pontos):
\int_{-2}^{2} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx
e interpretar o valor encontrado como a área sob a curva de f(x)=x^2 entre x=-2 e x=2. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar uma antiderivada de x^2 e em seguida descrever o gráfico e a região cuja área essa integral mede.

Passo 2

Encontre uma antiderivada de f(x)=x^2. Pelo conhecimento básico de integrais, temos
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 3

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando a antiderivada de -2 a 2:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr) = \frac{16}{3}.

Passo 4

No gráfico, y=x^2 é uma parábola voltada para cima, sempre não-negativa. A região cuja área a integral calcula é aquela sob a curva e acima do eixo x, limitada verticalmente pelos pontos (-2,0) e (2,0). Como f(x)\ge0 nesse intervalo, a área dessa região vale exatamente
\frac{16}{3} \quad\text{unidades quadradas}.

Resposta

\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx = \frac{16}{3}.

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