Dada a integral abaixo
\int_{1}^{\infty} \frac{2}{x} d x
a) Calcule e determine se é convergente ou divergente (1.0 pontos)
b) Represente a sua respectiva área (1,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{2}{x}\,dx
e decidir se ela converge ou diverge. Este é um problema de integrais impróprias em que transformamos o limite superior infinito em um parâmetro e depois avaliamos um limite.

Passo 2

Substituímos o infinito por um valor b e calculamos
\int_{1}^{b} \frac{2}{x}\,dx =2\int_{1}^{b} \frac{1}{x}\,dx =2\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{b} =2(\ln b-\ln 1) =2\ln b.
Agora avaliamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}2\ln b=\infty.
Como o valor cresce sem limite, a integral é divergente.

Passo 3

Para representar geometricamente a área, esboçamos o gráfico de y=\tfrac{2}{x} no plano xy. Marcamos o eixo x iniciando em x=1 e estendendo-se para a direita indefinidamente, e sombreia­mos a região entre a curva e o eixo x. Essa área fica cada vez maior à medida que x cresce, confirmando que não há um valor finito total.

Resposta

a) A integral diverge, pois seu valor tende a \infty.
b) A área é a região sob a curva y=2/x de x=1 a x\to\infty, que se estende indefinidamente e não se fecha num valor finito.

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