Calcule as integrais:
\int \arctan \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Para resolver, vamos usar primeiro a substituição \;t = \sqrt{x}\;
e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazendo t = \sqrt{x}, segue x = t^2 e
dx = 2t\,dt.
Portanto a integral fica
\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int \arctan(t)\;\bigl(2t\,dt\bigr) = \int 2t\,\arctan(t)\,dt.

Passo 3

Em \displaystyle \int 2t\,\arctan(t)\,dt
vamos usar integração por partes, escolhendo
u = \arctan(t), \quad dv = 2t\,dt.
Então
du = \frac{1}{1+t^2}\,dt, \quad v = t^2.
A fórmula de partes dá
\int 2t\,\arctan(t)\,dt = t^2\,\arctan(t) - \int t^2\;\frac{1}{1+t^2}\,dt.

Passo 4

Analisamos \displaystyle \int \frac{t^2}{1+t^2}\,dt.
Reescrevemos o integrando como
\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2},
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\int \frac{t^2}{1+t^2}\,dt = \int 1\,dt - \int \frac{1}{1+t^2}\,dt = t - \arctan(t).

Passo 5

Voltando à integral por partes, temos
\int 2t\,\arctan(t)\,dt = t^2\,\arctan(t) - \bigl(t - \arctan(t)\bigr) + C = t^2\,\arctan(t) - t + \arctan(t) + C.
Substituindo t = \sqrt{x}, resulta
\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = (\sqrt{x})^2\,\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + \arctan(\sqrt{x}) + C = (x+1)\,\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C.

Resposta

\int \arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,dx = (x+1)\,\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C.

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