Esboce os gráficos de:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+9 y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+9y^{2}}
Isso envolve duas representações principais:
  1. As curvas de nível (níveis de altura constantes).
  2. O esboço da superfície no espaço (x,y,z).

Passo 2

Para achar as curvas de nível, fixamos f(x,y)=c com c\ge0. Então
\sqrt{x^{2}+9y^{2}} = c \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+9y^{2}=c^{2}.
Esse é o espaço de uma família de elipses centradas na origem, com semieixos a=c ao longo de x e b=c/3 ao longo de y. Ao variar c, obtemos elipses cada vez maiores.

Passo 3

Para entender a forma 3D, olhemos seções por planos:
— Plano y=0:
f(x,0)=\sqrt{x^{2}}=|x|,
que é um “V” no plano xz.
— Plano x=0:
f(0,y)=\sqrt{9y^{2}}=3|y|,
um “V” mais aberto no plano yz.
Essas duas seções revelam que a superfície é conical, mas “esticada” de modo diferente em x e y.

Passo 4

Juntando tudo, a superfície z=f(x,y) é um cone duplo (só o ramo superior em z\ge0 por causa da raiz), com seção horizontal elíptica. Conforme z cresce, as elipses x^{2}+9y^{2}=z^{2} aumentam de tamanho, sem mudar de forma.

Resposta

O gráfico de z=\sqrt{x^2+9y^2} é um cone elíptico que em cada altura z=c corta o plano z=c numa elipse de equação
x^2+9y^2=c^2.
As curvas de nível no plano xy são exatamente essas elipses.

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