Esboce os gráficos de:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
Isso envolve duas representações principais:
- As curvas de nível (níveis de altura constantes).
- O esboço da superfície no espaço
.
Passo 2
Para achar as curvas de nível, fixamos
com
. Então
Esse é o espaço de uma família de elipses centradas na origem, com semieixos
ao longo de
e
ao longo de
. Ao variar
, obtemos elipses cada vez maiores.
Passo 3
Para entender a forma 3D, olhemos seções por planos:
— Plano :
— Plano
que é um “V” no plano
.
— Plano :
— Plano
um “V” mais aberto no plano
.
Essas duas seções revelam que a superfície é conical, mas “esticada” de modo diferente em
e
.
Passo 4
Juntando tudo, a superfície
é um cone duplo (só o ramo superior em
por causa da raiz), com seção horizontal elíptica. Conforme
cresce, as elipses
aumentam de tamanho, sem mudar de forma.
Resposta
O gráfico de
é um cone elíptico que em cada altura
corta o plano
numa elipse de equação
As curvas de nível no plano
são exatamente essas elipses.