Calcule as integrais:
\int \cos (\ln x) \frac{d x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \cos(\ln x)\,\frac{dx}{x}.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de \ln x é 1/x. Vamos usar a substituição t=\ln x.

Passo 2

Fazendo a substituição t=\ln x, temos
\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad dt=\frac{dx}{x}.
Logo, a integral original fica
\int \cos(\ln x)\,\frac{dx}{x} =\int \cos(t)\,dt.

Passo 3

Integramos em t:
\int \cos(t)\,dt = \sin(t) + C.
Voltando à variável x com t=\ln x, obtemos \sin(\ln x)+C.

Resposta

\sin(\ln x) + C

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