Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é \mathbf{S}=\mathbf{S}_{\mathbf{0}} . \mathbf{2}^{\mathbf{- 0 , 2 5 t}}, em que \mathrm{S}_{0} representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se?

Passo 1

O enunciado diz que, decorrido o tempo t em anos, a quantidade restante é
\;S = S_{0}\cdot2^{-0,25t},
onde S_{0} é a quantidade inicial. Queremos o tempo t para que metade da quantidade inicial tenha se desintegrado, isto é, para que reste S = \tfrac{S_{0}}{2}.

Passo 2

Igualamos a expressão de S a \tfrac{S_{0}}{2} e dividimos ambos os lados por S_{0}:
2^{-0,25t} = \frac{1}{2}.

Passo 3

Como \tfrac{1}{2}=2^{-1}, temos
2^{-0,25t} = 2^{-1} \quad\Longrightarrow\quad -0,25\,t = -1 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{-1}{-0,25} = 4.

Resposta

t = 4 anos.

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