Calcule as integrais:
\int \cos (5 x) \cdot \cos (3 x) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos(5x)\,\cos(3x)\,dx.
O conteúdo principal é integração de produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a identidade de produto-para-soma:
\cos(A)\,\cos(B)=\tfrac12\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).

Passo 2

Aplicando a identidade com A=5x e B=3x, obtemos
\cos(5x)\,\cos(3x) =\tfrac12\bigl(\cos(5x+3x)+\cos(5x-3x)\bigr) =\tfrac12\bigl(\cos(8x)+\cos(2x)\bigr).
Logo,
\int \cos(5x)\cos(3x)\,dx =\tfrac12\int\cos(8x)\,dx +\tfrac12\int\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos cada integral separadamente.
Para \int\cos(8x)\,dx, sabemos que
\int\cos(8x)\,dx=\tfrac1{8}\sin(8x).
Para \int\cos(2x)\,dx,
\int\cos(2x)\,dx=\tfrac1{2}\sin(2x).
Substituindo de volta:
\tfrac12\int\cos(8x)\,dx =\tfrac12\cdot\tfrac1{8}\sin(8x) =\tfrac1{16}\sin(8x),
\tfrac12\int\cos(2x)\,dx =\tfrac12\cdot\tfrac1{2}\sin(2x) =\tfrac1{4}\sin(2x).

Resposta

\int \cos(5x)\,\cos(3x)\,dx =\tfrac1{16}\sin(8x)+\tfrac1{4}\sin(2x)+C.

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