Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo aqui é integração imprópria devido a uma singularidade no limite superior
. Vamos primeiro verificar a convergência dessa singularidade.
Passo 2
Analisamos o comportamento de
quando
. Note que
Como o expoente
, a singularidade é integrável (o caso
-integral com
converge). Logo, a integral converge.
Passo 3
Para calcular o valor, fazemos a substituição
Quando
,
. Quando
,
. Assim,
Passo 4
A integral em
é elementar:
Resposta
A integral converge e vale