Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx
converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo aqui é integração imprópria devido a uma singularidade no limite superior x=3. Vamos primeiro verificar a convergência dessa singularidade.

Passo 2

Analisamos o comportamento de \frac{1}{\sqrt{3-x}} quando x\to3^-. Note que
\frac{1}{\sqrt{3-x}} = (3-x)^{-\tfrac12}.
Como o expoente \tfrac12<1, a singularidade é integrável (o caso p-integral com p<1 converge). Logo, a integral converge.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a substituição
u = 3 - x \quad\Longrightarrow\quad du = -\,dx.
Quando x=0, u=3. Quando x=3, u=0. Assim,
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx = \int_{u=3}^{u=0} \frac{1}{\sqrt{u}}\bigl(-du\bigr) = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 4

A integral em u é elementar:
\int_{0}^{3} u^{-\tfrac12}\,du = \Bigl[2\,u^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{0} = 2\sqrt{3}.

Resposta

A integral converge e vale 2\sqrt{3}.

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