Calcule as integrais:
\int \cos ^{3} x \cdot \operatorname{sen}^{4} x \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função trigonométrica:
\int \cos^{3}x\,\sin^{4}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de seno e cosseno, e vamos usar a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x junto com a substituição u=\sin x.

Passo 2

Escrevemos \cos^{3}x como \cos x\cdot\cos^{2}x para poder aplicar a identidade:
\cos^{3}x\,\sin^{4}x =\cos x\,(1-\sin^{2}x)\,\sin^{4}x =\cos x\,\bigl(\sin^{4}x-\sin^{6}x\bigr).
Assim a integral vira
\int \cos x\,\bigl(\sin^{4}x-\sin^{6}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx.
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\int \cos x\,\bigl(\sin^{4}x-\sin^{6}x\bigr)\,dx = \int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
\int \bigl(u^{4}-u^{6}\bigr)\,du =\int u^{4}\,du - \int u^{6}\,du =\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u=\sin x, obtemos
\frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C.

Resposta

\int \cos^{3}x\,\sin^{4}x\,dx =\frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C.

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