Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da integral
que é imprópria porque o integrando tem singularidade em
(o denominador fica zero). O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias com ponto de descontinuidade interior e aplicação de antiderivadas de potências. Vamos: (1) separar a integral nas duas partes em torno de
; (2) encontrar a antiderivada; (3) verificar o limite em cada lado; (4) somar os resultados.
Passo 2
Separamos a integral em
Cada parte é uma integral imprópria no limite em
.
Passo 3
Para integrar
, usamos a fórmula
com
. Logo, uma antiderivada é
Passo 4
Calculamos a parte da esquerda como limite:
Aqui
quando
e
. Assim,
Passo 5
Calculamos a parte da direita:
Como
e
, segue
Passo 6
Somando as duas partes, obtemos
Além disso, a convergência ocorre porque o expoente
é menor que
, garantindo que o singularidade seja integrável.
Resposta
A integral converge e vale
.