Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{-2}^{7} \frac{1}{(x+1)^{2 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral
\int_{-2}^{7}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx
que é imprópria porque o integrando tem singularidade em x=-1 (o denominador fica zero). O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias com ponto de descontinuidade interior e aplicação de antiderivadas de potências. Vamos: (1) separar a integral nas duas partes em torno de x=-1; (2) encontrar a antiderivada; (3) verificar o limite em cada lado; (4) somar os resultados.

Passo 2

Separamos a integral em
\int_{-2}^{7}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx = \int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx + \int_{-1}^{7}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx.
Cada parte é uma integral imprópria no limite em x\to -1.

Passo 3

Para integrar \frac{1}{(x+1)^{2/3}}, usamos a fórmula
\int u^{-2/3}\,du =\frac{u^{1/3}}{1/3} =3\,u^{1/3}
com u=x+1. Logo, uma antiderivada é
F(x)=3\,(x+1)^{1/3}.

Passo 4

Calculamos a parte da esquerda como limite:
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx =\lim_{a\to(-1)^{-}}\bigl[F(x)\bigr]_{x=-2}^{x=a} = \lim_{a\to(-1)^{-}}\bigl(3(a+1)^{1/3}-3(-2+1)^{1/3}\bigr).
Aqui (a+1)^{1/3}\to0 quando a\to-1 e (-2+1)^{1/3}=(-1)^{1/3}=-1. Assim,
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx =3\cdot0-3\cdot(-1)=3.

Passo 5

Calculamos a parte da direita:
\int_{-1}^{7}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx =\lim_{b\to(-1)^{+}}\bigl[F(x)\bigr]_{x=b}^{x=7} = \lim_{b\to(-1)^{+}}\bigl(3(7+1)^{1/3}-3(b+1)^{1/3}\bigr).
Como (b+1)^{1/3}\to0 e (7+1)^{1/3}=2, segue
\int_{-1}^{7}\frac{1}{(x+1)^{2/3}}\,dx =3\cdot2-0=6.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
3+6=9.
Além disso, a convergência ocorre porque o expoente 2/3 é menor que 1, garantindo que o singularidade seja integrável.

Resposta

A integral converge e vale 9.

Exercícios relacionados