Calcule as integrais:
\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \operatorname{sec} ^{5} x \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec}^{5}x \,dx
Esse tipo de integral envolve funções trigonométricas com potências de \tan x e \operatorname{sec} x. Vamos usar a identidade
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
e reconhecer o diferencial de \operatorname{sec} x, já que
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Separe um fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx para fazer a substituição, escrevendo
\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{5}x\,dx = \tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{4}x\;\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\,dx\bigr).

Passo 3

Use a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 em \tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{4}x:
\tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{4}x =(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,\operatorname{sec}^{4}x =\operatorname{sec}^{6}x-\operatorname{sec}^{4}x.
Assim a integral vira
\int (\operatorname{sec}^{6}x-\operatorname{sec}^{4}x)\,\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\,dx\bigr).

Passo 4

Faça a substituição
u = \operatorname{sec} x, \quad du = \operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Isso transforma a integral em
\int (u^{6}-u^{4})\,du.

Passo 5

Integre termo a termo em u:
\int (u^{6}-u^{4})\,du =\frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 6

Volte à variável x usando u=\operatorname{sec} x.

Resposta

\frac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\frac{\operatorname{sec}^{5}x}{5}+C

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