Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que está dado:
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^{2}}}.
  • Informação relevante do enunciado: o integrando contém uma raiz quadrada de uma expressão quadrática em x. Para a raiz estar real é necessário que 4x-x^{2}\ge 0, ou seja 0\le x\le 4. Essa observação será útil para entender o domínio da primitiva que encontrarmos.

Passo 2

Reescrever o radicando completando o quadrado (isso deixa a integral num formato padrão):
Começamos com
4x - x^{2} = -(x^{2}-4x).
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-4x = (x^{2}-4x+4)-4 = (x-2)^{2}-4.
Logo
4x - x^{2} = -\big((x-2)^{2}-4\big) = 4 - (x-2)^{2}.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^{2}}}.

Passo 3

Fazer a mudança de variável simples para centralizar a expressão e deixar no formato padrão:
Defina
u = x-2.
Então
du = dx
e a integral transforma-se em
\int \frac{du}{\sqrt{4 - u^{2}}}.
Agora está explícito o padrão \sqrt{a^{2}-u^{2}} com a=2.

Passo 4

Lembrar e demonstrar a fórmula padrão que vamos usar:
Fórmula padrão (muito útil): para constante a>0,
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.
Explicação/derivação rápida dessa fórmula (para você entender de onde vem): faça a substituição trigonométrica
u = a\sin\theta.
Então
du = a\cos\theta\,d\theta
e
\sqrt{a^{2}-u^{2}} = \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} = a\cos\theta,
(para \theta em intervalo onde \cos\theta\ge0). Assim a integral fica
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \int \frac{a\cos\theta\,d\theta}{a\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C.
Voltando para u, como u=a\sin\theta temos \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{u}{a}\right). Portanto
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
que é a fórmula anunciada.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso caso com a=2 e u=x-2:
Pela fórmula,
\int \frac{du}{\sqrt{4-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{2}\right) + C.
Voltando para x (pois u=x-2),
\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right) + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando a primitiva para checar):
Calcule a derivada de \arcsin\!\left(\dfrac{x-2}{2}\right):
\frac{d}{dx}\left[\arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x-2}{2}\right)^{2}}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{4-(x-2)^{2}}},
que coincide com o integrando original porque \sqrt{4-(x-2)^{2}}=\sqrt{4x-x^{2}}. Assim a primitiva está correta (no intervalo onde a raiz é real, isto é 0<x<4).

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • A resposta é válida para x em (0,4) (onde o argumento de \arcsin fica entre -1 e 1); fora desse intervalo a expressão original torna-se imaginária.
  • Método prático para problemas desse tipo: completar o quadrado para reduzir a um caso \sqrt{a^{2}-(x-b)^{2}} e aplicar a primitiva padrão \arcsin (ou usar substituição trigonométrica). Você já conseguiu — manda ver na prova!

Resposta

\displaystyle \arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right)+C

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