Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado:
- Pede-se calcular a integral indefinida
- Informação relevante do enunciado: o integrando contém uma raiz quadrada de uma expressão quadrática em
. Para a raiz estar real é necessário que , ou seja . Essa observação será útil para entender o domínio da primitiva que encontrarmos.
Passo 2
Reescrever o radicando completando o quadrado (isso deixa a integral num formato padrão):
Começamos com
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese:
Logo
Portanto a integral fica
Passo 3
Fazer a mudança de variável simples para centralizar a expressão e deixar no formato padrão:
Defina
Então
e a integral transforma-se em
Agora está explícito o padrão
com
.
Passo 4
Lembrar e demonstrar a fórmula padrão que vamos usar:
Fórmula padrão (muito útil): para constante
,
Explicação/derivação rápida dessa fórmula (para você entender de onde vem): faça a substituição trigonométrica
Então
e
(para
em intervalo onde
). Assim a integral fica
Voltando para
, como
temos
. Portanto
que é a fórmula anunciada.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso caso com
e
:
Pela fórmula,
Voltando para
(pois
),
Passo 6
Verificação rápida (derivando a primitiva para checar):
Calcule a derivada de
:
que coincide com o integrando original porque
. Assim a primitiva está correta (no intervalo onde a raiz é real, isto é
).
Passo 7
Observações finais e incentivo:
- A resposta é válida para
em (onde o argumento de fica entre e ); fora desse intervalo a expressão original torna-se imaginária. - Método prático para problemas desse tipo: completar o quadrado para reduzir a um caso
e aplicar a primitiva padrão (ou usar substituição trigonométrica). Você já conseguiu — manda ver na prova!