Calcule as integrais:
\int \frac{x^{2}+2 x}{\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}+2x}{\sqrt[3]{x^{3}+3x^{2}+4}}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois no denominador aparece \sqrt[3]{x^{3}+3x^{2}+4}=(x^{3}+3x^{2}+4)^{1/3}, cuja derivada está quase inteira no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 3x^{2} + 4.
Então
\frac{du}{dx} = 3x^{2} + 6x \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,(x^{2}+2x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+2x)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Em função de u a integral fica
\int \frac{x^{2}+2x}{(x^{3}+3x^{2}+4)^{1/3}}\,dx = \int \frac{1}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-1/3}\,du.

Passo 4

Integramos a potência de u:
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{(-1/3)+1}}{(-1/3)+1} = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,u^{2/3}.
Multiplicando o fator \tfrac{1}{3} vemos que
\frac{1}{3}\int u^{-1/3}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\,u^{2/3} = \frac{1}{2}\,u^{2/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
u^{2/3} = (x^{3}+3x^{2}+4)^{2/3},
logo a integral original vale
\frac{1}{2}(x^{3}+3x^{2}+4)^{2/3} + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2}(x^{3}+3x^{2}+4)^{2/3} + C}.

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