Calcule as integrais:
\int(\operatorname{tg} x)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (\tan x)^{3}\,dx
O conteúdo principal que vamos usar é a identidade trigonométrica \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
e o método de substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando
(\tan x)^{3} = \tan x\;\tan^{2}x = \tan x\,(\operatorname{sec}^{2}x - 1).

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int \tan x\,(\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,dx = \int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx \;-\;\int \tan x\,dx.

Passo 4

Para a integral
\int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx
fazemos a substituição \,u = \tan x, de onde \,du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então
\int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} = \frac{\tan^{2}x}{2}.

Passo 5

A segunda integral é a conhecida
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 6

Juntando os resultados e somando a constante de integração C, temos
\int (\tan x)^{3}\,dx = \frac{\tan^{2}x}{2} \;-\;\bigl(-\ln\bigl|\cos x\bigr|\bigr) + C = \frac{\tan^{2}x}{2} + \ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Resposta

\int (\tan x)^{3}\,dx = \frac{\tan^{2}x}{2} + \ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Exercícios relacionados