Calcule as integrais:
\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(\sqrt{x}-\tfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a regra de potência para integrais: \displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Vamos reescrever cada raiz como potência e aplicar essa regra.

Passo 2

Reescrevendo as raízes em potências temos \sqrt{x}=x^{1/2}, \tfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Logo a integral se separa em
\int x^{1/2}dx \;-\;\int x^{-1/2}dx \;+\;\int x^{1/3}dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência termo a termo:
Para \displaystyle \int x^{1/2}dx adicionamos 1 ao expoente e dividimos:
\int x^{1/2}dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
Para \displaystyle \int x^{-1/2}dx temos
\int x^{-1/2}dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2},
mas havia um sinal negativo na integral original, então esse termo vira -2x^{1/2}.
Para \displaystyle \int x^{1/3}dx obtemos
\int x^{1/3}dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}.

Passo 4

Somando todos os resultados e acrescentando a constante de integração C, a primitiva geral fica
\frac{2}{3}x^{3/2} \;-\;2x^{1/2} \;+\;\frac{3}{4}x^{4/3} \;+\;C.

Resposta

\frac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2} + \frac{3}{4}x^{4/3} + C

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