Calcule as integrais:
int \frac{e^{arctan x}}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^2}\,dx.
O truque aqui é perceber que a derivada de \arctan x é \tfrac{1}{1 + x^2}. Isso sugere usar a substituição u = \arctan x.

Passo 2

Definimos
u = \arctan x,
de onde
du = \frac{1}{1 + x^2}\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^2}\,dx = \int e^{u}\,du.

Passo 4

A integral de e^u em relação a u é
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.

Passo 5

Volta à variável x usando u = \arctan x:
e^{u} + C = e^{\arctan x} + C.

Resposta

\boxed{e^{\arctan x} + C}

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