2 - Determine o intervalo de convergência da série:

\sum \frac{1}{4^{n}}(x+1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}\,(x+1)^{n}.
O conteúdo aqui é reconhecimento de série geométrica e aplicação do critério de convergência |r|<1 para séries da forma \sum a\,r^{n}.

Passo 2

Note que podemos reescrever a série como
\sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{x+1}{4}\biggr)^{n}.
Trata-se de uma série geométrica com razão
r = \frac{x+1}{4}.
Sabemos que ela converge se, e somente se,
|r|<1.

Passo 3

Impondo \bigl|\frac{x+1}{4}\bigr|<1, temos
|x+1|<4,
que é equivalente a
-4 < x+1 < 4 \quad\Longrightarrow\quad -5 < x < 3.
Isso nos dá o intervalo aberto (-5,3).

Passo 4

Faltam os testes de fronteira:
  • Para x=3, a razão fica \tfrac{3+1}{4}=1, e a série \sum1^{n} diverge.
  • Para x=-5, a razão fica \tfrac{-5+1}{4}=-1, e a série \sum(-1)^{n} também não converge (os termos não tendem a zero).
    Logo, ambos os extremos estão excluídos.

Resposta

(-5,3)

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