2 - Determine o intervalo de convergência da série: \sum \frac{1}{4^{n}}(x+1)^{n} Passo 1O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n}}\,(x+1)^{n}. O conteúdo aqui é reconhecimento de série geométrica e aplicação do critério de convergência |r|<1 para séries da forma \sum a\,r^{n}. Passo 2Note que podemos reescrever a série como \sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{x+1}{4}\biggr)^{n}. Trata-se de uma série geométrica com razão r = \frac{x+1}{4}. Sabemos que ela converge se, e somente se, |r|<1. Passo 3Impondo \bigl|\frac{x+1}{4}\bigr|<1, temos |x+1|<4, que é equivalente a -4 < x+1 < 4 \quad\Longrightarrow\quad -5 < x < 3. Isso nos dá o intervalo aberto (-5,3). Passo 4Faltam os testes de fronteira: Para x=3, a razão fica \tfrac{3+1}{4}=1, e a série \sum1^{n} diverge. Para x=-5, a razão fica \tfrac{-5+1}{4}=-1, e a série \sum(-1)^{n} também não converge (os termos não tendem a zero). Logo, ambos os extremos estão excluídos. Resposta (-5,3) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSeja y=e^{x} \cos x. Verifique que \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0. Derive. f(x)=\left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)^{3} Calcule as integrais: int \frac{e^{arctan x}}{1+x^{2}} d x Calcule as integrais: int 2 x(x+1)^{2025} d x