Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{x+1}{x^{2}-4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada:
\int \frac{x+1}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador: } x+1,
\text{denominador: } x^{2}-4.
Observações imediatas (apenas listando dados, sem resolver ainda): o denominador é um polinômio de grau 2 e pode ser fatorado; a integral é indefinida (vai aparecer uma constante de integração).

Passo 2

Verificação rápida de “fração própria”: comparamos os graus do numerador e do denominador. O numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, então temos uma fração algébrica própria — podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais sem fazer divisão polinomial prévia.
Explicação didática do método que vamos usar (sem aprofundar em teoria avançada): quando o denominador é o produto de fatores lineares distintos, podemos escrever a fração racional como soma de frações simples cujo denominador é cada um desses fatores. Aqui primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Montagem da forma de Frações Parciais: como os fatores são lineares e distintos, suponha que existam constantes A e B tais que
\frac{x+1}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.
Esta é apenas uma hipótese de decomposição; agora vamos determinar A e B.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}-4=(x-2)(x+2) obtemos uma identidade polinomial:
x+1 = A(x+2)+B(x-2).
Isto vale para todo x (identidade entre polinômios).

Passo 4

Encontrando A e B — método dos valores convenientes (rápido e direto):
  • Tomando x=2 na identidade x+1 = A(x+2)+B(x-2):
2+1 = A(2+2)+B(2-2) \Rightarrow 3 = 4A + 0 \Rightarrow A=\frac{3}{4}.
  • Tomando x=-2:
-2+1 = A(-2+2)+B(-2-2) \Rightarrow -1 = 0 + B(-4) \Rightarrow B=\frac{1}{4}.
Verificação extra (opcional, mas útil para confiança): expandindo a direita com esses A e B,
A(x+2)+B(x-2)=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}=\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=x+1,
confirma que está correto.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral usando a decomposição encontrada:
\int \frac{x+1}{x^{2}-4}\,dx = \int \left(\frac{3/4}{x-2} + \frac{1/4}{x+2}\right)\,dx.
Regra básica de integração usada aqui (expliquei antes, agora aplico): para qualquer constante k e qualquer a,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\int \frac{1}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C,
porque, fazendo a substituição u=x-a, du=dx e \int 1/u \,du = \ln|u| + C. Note que o valor absoluto é necessário para permitir x em ambos os lados de a.
Aplicando essa regra termo a termo à integral acima:
\int \frac{3/4}{x-2}\,dx = \frac{3}{4}\ln|x-2| + C_1,
\int \frac{1/4}{x+2}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x+2| + C_2.
Somando (e juntando as constantes C_1+C_2 numa única constante C) obtemos a primitiva.

Resposta

\frac{3}{4}\ln|x-2|+\frac{1}{4}\ln|x+2|+C

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