Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
Caso 1
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada:
Informações relevantes fornecidas:
Observações imediatas (apenas listando dados, sem resolver ainda): o denominador é um polinômio de grau
e pode ser fatorado; a integral é indefinida (vai aparecer uma constante de integração).
Passo 2
Verificação rápida de “fração própria”: comparamos os graus do numerador e do denominador. O numerador tem grau
e o denominador tem grau
, então temos uma fração algébrica própria — podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais sem fazer divisão polinomial prévia.
Explicação didática do método que vamos usar (sem aprofundar em teoria avançada): quando o denominador é o produto de fatores lineares distintos, podemos escrever a fração racional como soma de frações simples cujo denominador é cada um desses fatores. Aqui primeiro fatoramos o denominador:
Passo 3
Montagem da forma de Frações Parciais: como os fatores são lineares e distintos, suponha que existam constantes
e
tais que
Esta é apenas uma hipótese de decomposição; agora vamos determinar
e
.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade polinomial:
Isto vale para todo
(identidade entre polinômios).
Passo 4
Encontrando
e
— método dos valores convenientes (rápido e direto):
- Tomando
na identidade :
- Tomando
:
Verificação extra (opcional, mas útil para confiança): expandindo a direita com esses
e
,
confirma que está correto.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral usando a decomposição encontrada:
Regra básica de integração usada aqui (expliquei antes, agora aplico): para qualquer constante
e qualquer
,
porque, fazendo a substituição
,
e
. Note que o valor absoluto é necessário para permitir
em ambos os lados de
.
Aplicando essa regra termo a termo à integral acima:
Somando (e juntando as constantes
numa única constante
) obtemos a primitiva.