Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{x+4}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+4}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a ser integrada é a razão \dfrac{x+4}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)}.
  • Observe que \left(x^{2}-1\right) é um polinômio que pode ser fatorado.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva dessa função (ou seja, a integral indefinida) usando o método das frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para ver a estrutura das frações parciais:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
logo o denominador total é
(x^{2}-1)(x+2)=(x-1)(x+1)(x+2).
Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos (x-a)(x-b)(x-c), buscamos uma decomposição da forma
\frac{x+4}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes a determinar. A ideia é transformar a integral complicada numa soma de integrais simples do tipo \int \dfrac{\text{constante}}{x-a}\,dx.

Passo 3

Multiplicamos a identidade acima pelo denominador (x-1)(x+1)(x+2) para obter uma igualdade polinomial (sem denominares):
x+4 = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1).
Essa igualdade vale para todo x. Para encontrar A, B e C podemos substituir valores de x que anulem fatores, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Escolhemos x igual a raízes dos fatores para isolar as constantes.
  • Para x=1:
1+4=5 = A(1+1)(1+2)=A\cdot 2\cdot 3=6A,
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A=\frac{5}{6}.
  • Para x=-1:
-1+4=3 = B(-1-1)(-1+2)=B\cdot(-2)\cdot 1=-2B,
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B=-\frac{3}{2}.
  • Para x=-2:
-2+4=2 = C(-2-1)(-2+1)=C\cdot(-3)\cdot(-1)=3C,
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C=\frac{2}{3}.
Checagem rápida (opcional): podemos expandir e comparar coeficientes para confirmar, mas os valores obtidos estão corretos.

Passo 5

Substituindo A, B e C na decomposição temos
\frac{x+4}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{5/6}{x-1} - \frac{3/2}{x+1} + \frac{2/3}{x+2}.
Assim a integral original se transforma em soma de integrais simples:
\int \frac{x+4}{(x^{2}-1)(x+2)}\,dx = \int \frac{5/6}{x-1}\,dx - \int \frac{3/2}{x+1}\,dx + \int \frac{2/3}{x+2}\,dx.

Passo 6

Agora lembramos da primitiva básica: para qualquer constante k e número a,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + \text{constante}.
Isto porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando isso termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{5/6}{x-1}\,dx = \frac{5}{6}\ln|x-1|.
  • \displaystyle \int \frac{3/2}{x+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1|.
  • \displaystyle \int \frac{2/3}{x+2}\,dx = \frac{2}{3}\ln|x+2|.
Lembre-se de manter o sinal de B (que é negativo) ao somar os termos.

Passo 7

Somando as primitivase adicionando a constante de integração (denotada por K), obtemos a antiderivada completa:
\int \frac{x+4}{\left(x^{2}-1\right)(x+2)}\,dx = \frac{5}{6}\ln|x-1| - \frac{3}{2}\ln|x+1| + \frac{2}{3}\ln|x+2| + K,
onde K é a constante de integração. Se quiser, dá pra recolher fator comum (por exemplo 1/6) e escrever em forma de logaritmo de produto/quociente, mas a forma acima é direta e clara para a prova.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}\ln|x-1|-\frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{2}{3}\ln|x+2|+K

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