Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
Caso 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a ser integrada é a razão
. - Observe que
é um polinômio que pode ser fatorado. - A tarefa é encontrar uma primitiva dessa função (ou seja, a integral indefinida) usando o método das frações parciais.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador para ver a estrutura das frações parciais:
logo o denominador total é
Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos
, buscamos uma decomposição da forma
onde
,
e
são constantes a determinar. A ideia é transformar a integral complicada numa soma de integrais simples do tipo
.
Passo 3
Multiplicamos a identidade acima pelo denominador
para obter uma igualdade polinomial (sem denominares):
Essa igualdade vale para todo
. Para encontrar
,
e
podemos substituir valores de
que anulem fatores, o que simplifica bastante os cálculos.
Passo 4
Escolhemos
igual a raízes dos fatores para isolar as constantes.
- Para
:
logo
- Para
:
logo
- Para
:
logo
Checagem rápida (opcional): podemos expandir e comparar coeficientes para confirmar, mas os valores obtidos estão corretos.
Passo 5
Substituindo
,
e
na decomposição temos
Assim a integral original se transforma em soma de integrais simples:
Passo 6
Agora lembramos da primitiva básica: para qualquer constante
e número
,
Isto porque a derivada de
é
. Aplicando isso termo a termo:
Lembre-se de manter o sinal de
(que é negativo) ao somar os termos.
Passo 7
Somando as primitivase adicionando a constante de integração (denotada por
), obtemos a antiderivada completa:
onde
é a constante de integração. Se quiser, dá pra recolher fator comum (por exemplo
) e escrever em forma de logaritmo de produto/quociente, mas a forma acima é direta e clara para a prova.