Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede uma primitiva (integração indefinida) da função dada. Especificamente:
- Calcular
. - Observação útil (dados extraídos do enunciado): o integrando é indefinido quando
, ou seja, em com . Isso significa que a primitiva será válida em intervalos onde .
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica básica que simplifica o denominador. A identidade dupla para cosseno é
Reescrevendo em termos de
obtém-se
porque
. Esta transformação é padrão e facilita muito o cálculo.
Passo 3
Substituindo a identidade no denominador temos
Portanto o integrando fica mais simples.
Passo 4
Reescrevendo a integral com o resultado acima:
Introduzimos a função cosecante para ficar mais claro:
. Assim
Passo 5
Agora usamos a primitiva conhecida de
. Lembrando que
Para verificar rapidamente:
e diferenciando por quociente obtém-se
Logo uma antiderivada de
é
.
Passo 6
Integramos usando o fator constante:
Como
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida: diferenciando
dá
e como
(pela identidade do Passo 3), a primitiva está correta. Lembrete de domínio: resultado válido onde
.