Calcule as integrais:
\int \frac{d t}{\cos (2 t)-1}

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva (integração indefinida) da função dada. Especificamente:
  • Calcular \displaystyle \int \frac{dt}{\cos(2t)-1}.
  • Observação útil (dados extraídos do enunciado): o integrando é indefinido quando \cos(2t)-1=0, ou seja, em t=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Isso significa que a primitiva será válida em intervalos onde \sin t\neq0.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica básica que simplifica o denominador. A identidade dupla para cosseno é
\cos(2t)=\cos^2 t-\sin^2 t.
Reescrevendo em termos de \sin^2 t obtém-se
\cos(2t)=1-2\sin^2 t,
porque \cos^2 t=1-\sin^2 t. Esta transformação é padrão e facilita muito o cálculo.

Passo 3

Substituindo a identidade no denominador temos
\cos(2t)-1=(1-2\sin^2 t)-1=-2\sin^2 t.
Portanto o integrando fica mais simples.

Passo 4

Reescrevendo a integral com o resultado acima:
\frac{1}{\cos(2t)-1}=\frac{1}{-2\sin^2 t}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin^2 t}.
Introduzimos a função cosecante para ficar mais claro: \csc t=\dfrac{1}{\sin t}. Assim
\frac{1}{\cos(2t)-1}=-\frac{1}{2}\csc^2 t.

Passo 5

Agora usamos a primitiva conhecida de \csc^2 t. Lembrando que
\frac{d}{dt}\cot t=-\csc^2 t.
Para verificar rapidamente: \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t} e diferenciando por quociente obtém-se
\frac{d}{dt}\cot t=\frac{(-\sin t)\sin t-\cos t\cos t}{\sin^2 t}=\frac{-(\sin^2 t+\cos^2 t)}{\sin^2 t}=-\frac{1}{\sin^2 t}=-\csc^2 t.
Logo uma antiderivada de \csc^2 t é -\cot t.

Passo 6

Integramos usando o fator constante:
\int \frac{dt}{\cos(2t)-1}=\int \left(-\frac{1}{2}\csc^2 t\right) dt = -\frac{1}{2}\int \csc^2 t\,dt.
Como \int \csc^2 t\,dt=-\cot t, obtemos
-\frac{1}{2}\cdot(-\cot t)+C=\frac{1}{2}\cot t + C.

Passo 7

Verificação rápida: diferenciando \dfrac{1}{2}\cot t
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\cot t\right)=\frac{1}{2}\cdot(-\csc^2 t)=-\frac{1}{2}\csc^2 t,
e como -\dfrac{1}{2}\csc^2 t=\dfrac{1}{\cos(2t)-1} (pela identidade do Passo 3), a primitiva está correta. Lembrete de domínio: resultado válido onde \sin t\neq0.

Resposta

\dfrac{1}{2}\cot t + C

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