Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}+3 e^{t}+2} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{2t}}{e^{2t}+3e^{t}+2}\,dt.
Informações úteis que temos: no integrando aparecem e^{2t} e e^{t}; a presença desses termos sugere tentar uma substituição que simplifique as potências exponenciais. A resposta final deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais constante de integração.

Passo 2

Fazer a substituição natural para lidar com e^{t}. Defina
u = e^{t}.
Explique: u é sempre positivo e transforma potências: e^{2t} = (e^{t})^{2} = u^{2}. Diferenciando, temos
du = e^{t}\,dt = u\,dt \quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{u}.
Substituindo na integral:
\int \frac{e^{2t}}{e^{2t}+3e^{t}+2}\,dt = \int \frac{u^{2}}{u^{2}+3u+2}\cdot\frac{du}{u} = \int \frac{u}{u^{2}+3u+2}\,du.

Passo 3

Fatore o denominador para preparar uma decomposição em frações simples:
u^{2}+3u+2 = (u+1)(u+2).
Portanto a integral fica
\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du.

Passo 4

Faça decomposição em frações parciais. Procure constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{u}{(u+1)(u+2)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{u+2}.
Multiplicando ambos os lados por (u+1)(u+2) obtemos
u = A(u+2)+B(u+1) = (A+B)u + (2A+B).
Igualando coeficientes de potências de u:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 2A+B = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações surge A = -1\]. Então \(B = 1 - A = 2. Assim
\frac{u}{(u+1)(u+2)} = -\frac{1}{u+1} + \frac{2}{u+2}.]

Passo 5

Integre termo a termo usando que \displaystyle\int \frac{1}{u+a}\,du=\ln|u+a|+C. Assim
\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du = \int\!\left(-\frac{1}{u+1}+\frac{2}{u+2}\right)du = -\ln|u+1| + 2\ln|u+2| + C.
Como u=e^{t}>0, pode-se omitir as barras de valor absoluto se preferir, mas mantê-las é formalmente correto.

Passo 6

Volte à variável original t substituindo u=e^{t}:
-\ln\bigl(e^{t}+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^{t}+2\bigr) + C.
Opcionalmente, escrever em uma única logaritmo:
\ln\!\left(\frac{(e^{t}+2)^{2}}{e^{t}+1}\right) + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão obtida recupera o integrando original.

Resposta

\displaystyle -\ln\bigl(e^{t}+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^{t}+2\bigr) + C

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