Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações úteis que temos: no integrando aparecem
e
; a presença desses termos sugere tentar uma substituição que simplifique as potências exponenciais. A resposta final deve ser uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) mais constante de integração.
Passo 2
Fazer a substituição natural para lidar com
. Defina
Explique:
é sempre positivo e transforma potências:
. Diferenciando, temos
Substituindo na integral:
Passo 3
Fatore o denominador para preparar uma decomposição em frações simples:
Portanto a integral fica
Passo 4
Faça decomposição em frações parciais. Procure constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Igualando coeficientes de potências de
:
Subtraindo as equações surge
. Assim
Passo 5
Integre termo a termo usando que
. Assim
Como
, pode-se omitir as barras de valor absoluto se preferir, mas mantê-las é formalmente correto.
Passo 6
Volte à variável original
substituindo
:
Opcionalmente, escrever em uma única logaritmo:
Verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão obtida recupera o integrando original.