Seja
.
(a) Encontre a primitiva de
.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
.
(a) Encontre a primitiva de
(b) Determine a constante de integração, sabendo que
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- A função dada é
. - Pedido (a): encontrar uma primitiva
(ou seja, uma função cuja derivada é ). - Pedido (b): determinar a constante de integração sabendo que
.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): ao integrar um polinômio, aplica-se a regra do “expoente + 1 dividido por expoente + 1” termo a termo. Mais precisamente, para qualquer número real
vale
onde:
-
é a variável de integração; -
é o expoente do termo ; -
é a constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero, então toda primitiva está determinada até uma constante).
Exemplo simples:. Aqui , somou-se no expoente e dividiu-se pelo novo expoente.
Passo 3
Aplicando a regra termo a termo ao polinômio
:
- Para o termo
: use . Então
- Para o termo
: é uma constante multiplicando . Primeiro integra-se (que é ) com :
Multiplicando pela constante
:
- Para o termo constante
:
pois a derivada de
é
.
Somando as primitivas de cada termo (lembre: integral é linear) e adicionando a constante
, obtemos a primitiva geral:
Passo 4
Agora usamos a condição extra
para encontrar
. Substituindo
em
:
Calcule passo a passo:
-
, então . -
, então . - O termo
já está contado.
Somando os termos conhecidos:
Portanto
. Como a condição diz
, temos
Passo 5
Com
a primitiva particular que satisfaz
é
Resposta
(a)
(b)
(b)