Seja f(x)=x^{3}+6 x+1.
(a) Encontre a primitiva de f(x), F(x)=\int f(x) d x.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que F(2)=16.

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • A função dada é f(x)=x^{3}+6x+1.
  • Pedido (a): encontrar uma primitiva F(x)=\int f(x)\,dx (ou seja, uma função cuja derivada é f(x)).
  • Pedido (b): determinar a constante de integração sabendo que F(2)=16.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): ao integrar um polinômio, aplica-se a regra do “expoente + 1 dividido por expoente + 1” termo a termo. Mais precisamente, para qualquer número real n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente do termo x^{n};
  • C é a constante de integração (porque a derivada de uma constante é zero, então toda primitiva está determinada até uma constante).
    Exemplo simples: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C. Aqui n=2, somou-se 1 no expoente e dividiu-se pelo novo expoente.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo ao polinômio f(x)=x^{3}+6x+1:
  • Para o termo x^{3}: use n=3. Então
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
  • Para o termo 6x: é uma constante multiplicando x. Primeiro integra-se x (que é x^{1}) com n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante 6:
\int 6x\,dx=6\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}.
  • Para o termo constante 1:
\int 1\,dx = x,
pois a derivada de x é 1.
Somando as primitivas de cada termo (lembre: integral é linear) e adicionando a constante C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C.

Passo 4

Agora usamos a condição extra F(2)=16 para encontrar C. Substituindo x=2 em F(x):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}+3\cdot 2^{2}+2+C.
Calcule passo a passo:
  • 2^{4}=16, então \dfrac{2^{4}}{4}=\dfrac{16}{4}=4.
  • 2^{2}=4, então 3\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12.
  • O termo +2 já está contado.
Somando os termos conhecidos:
4+12+2=18.
Portanto F(2)=18+C. Como a condição diz F(2)=16, temos
18+C=16 \quad\Rightarrow\quad C=16-18=-2.

Passo 5

Com C=-2 a primitiva particular que satisfaz F(2)=16 é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x-2.

Resposta

(a) F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C
(b) C=-2

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