Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações que o enunciado dá:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - Note que a expressão dentro da raiz é
, que é não-negativa para , então a integral está bem definida no intervalo .
Passo 2
Ideia geral (explicada devagar e sem pular etapas): quando aparece uma expressão da forma
costuma ser conveniente usar uma substituição trigonométrica do tipo
porque isso transforma a raiz em algo simples (usando
). Aqui
. Vou aplicar essa substituição, explicando cada passo e por que ela funciona.
Passo 3
Fazer a substituição
. Primeiro escrevo as relações que surgem:
Calculo a raiz usando a identidade trigonométrica:
onde usei
e escolhi
porque para
a substituição dá
.
Passo 4
Transformar
e o integrando todo em função de
:
Agora substituo tudo na integral:
Agrupando os fatores:
Passo 5
Simplificar a expressão trigonométrica passo a passo:
Escrever
e
em termos de seno e cosseno ajuda:
Portanto o integrando fica muito simples:
Passo 6
Trocar os limites de integração de
para
.
- Para
: . - Para
: .
Como, temos .
Assim os novos limites são(inferior) e (superior), e na prática só preciso dos valores de nos limites.
A integral original vira
Passo 7
Resolver a integral em
com uma substituição simples: seja
. Então
. Assim
Como é integral definida, avalio entre os limites
e
.
Passo 8
Avaliar a primitiva nos limites:
- Em
: , então a contribuição é . - Em
: conforme calculado, . Então
porque
.
Portanto a integral vale
.