Calcule as integrais:
\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}\,dx.
Informações que o enunciado dá:
  • O integrando é a função \dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}.
  • Os limites de integração são x=3 (limite inferior) e x=5 (limite superior).
  • Note que a expressão dentro da raiz é x^{2}-9, que é não-negativa para x\ge 3, então a integral está bem definida no intervalo [3,5].

Passo 2

Ideia geral (explicada devagar e sem pular etapas): quando aparece uma expressão da forma \sqrt{x^{2}-a^{2}} costuma ser conveniente usar uma substituição trigonométrica do tipo
x = a\operatorname{sec}\theta,
porque isso transforma a raiz em algo simples (usando \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta). Aqui a=3. Vou aplicar essa substituição, explicando cada passo e por que ela funciona.

Passo 3

Fazer a substituição x=3\operatorname{sec}\theta. Primeiro escrevo as relações que surgem:
x=3\operatorname{sec}\theta\quad\Rightarrow\quad dx=3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Calculo a raiz usando a identidade trigonométrica:
\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9}=3\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=3\tan\theta,
onde usei \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta e escolhi \tan\theta\ge0 porque para x\ge3 a substituição dá \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 4

Transformar x^{4} e o integrando todo em função de \theta:
x^{4}=(3\operatorname{sec}\theta)^{4}=81\operatorname{sec}^{4}\theta.
Agora substituo tudo na integral:
\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}\,dx = \frac{3\tan\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta}\cdot(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
Agrupando os fatores:
\frac{3\tan\theta\cdot3\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta = \frac{9\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta.

Passo 5

Simplificar a expressão trigonométrica passo a passo:
\frac{9\tan^{2}\theta\operatorname{sec}\theta}{81\operatorname{sec}^{4}\theta} = \frac{1}{9}\tan^{2}\theta\operatorname{sec}^{-3}\theta.
Escrever \tan e \operatorname{sec} em termos de seno e cosseno ajuda:
\tan^{2}\theta\operatorname{sec}^{-3}\theta =\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\cdot\cos^{3}\theta =\sin^{2}\theta\cos\theta.
Portanto o integrando fica muito simples:
\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}\,dx = \frac{1}{9}\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Trocar os limites de integração de x para \theta.
  • Para x=3: 3=3\operatorname{sec}\theta\Rightarrow \operatorname{sec}\theta=1\Rightarrow \theta=0.
  • Para x=5: 5=3\operatorname{sec}\theta\Rightarrow \operatorname{sec}\theta=\dfrac{5}{3}\Rightarrow \cos\theta=\dfrac{3}{5}.
    Como \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}), temos \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac{4}{5}.
    Assim os novos limites são \theta=0 (inferior) e \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{5}\big) (superior), e na prática só preciso dos valores de \sin\theta nos limites.
A integral original vira
\int_{3}^{5}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x^{4}}\,dx = \int_{0}^{\operatorname{arccos}(3/5)} \frac{1}{9}\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta.

Passo 7

Resolver a integral em \theta com uma substituição simples: seja u=\sin\theta. Então du=\cos\theta\,d\theta. Assim
\int \frac{1}{9}\sin^{2}\theta\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{9}\int u^{2}\,du =\frac{1}{9}\cdot\frac{u^{3}}{3}+C =\frac{1}{27}\sin^{3}\theta + C.
Como é integral definida, avalio entre os limites \theta=0 e \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{3}{5}\big).

Passo 8

Avaliar a primitiva nos limites:
  • Em \theta=0: \sin 0 = 0, então a contribuição é 0.
  • Em \theta=\operatorname{arccos}(3/5): conforme calculado, \sin\theta=\dfrac{4}{5}. Então
\frac{1}{27}\sin^{3}\theta = \frac{1}{27}\left(\frac{4}{5}\right)^{3} =\frac{1}{27}\cdot\frac{64}{125} =\frac{64}{3375},
porque 27\cdot125=3375.
Portanto a integral vale \dfrac{64}{3375}.

Resposta

\dfrac{64}{3375}

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