Calcule as integrais:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos disponível. O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A integranda é
. - É uma integral indefinida — devemos encontrar uma primitiva (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (explicação pedagógica). Vou usar decomposição em frações parciais. Por que?
- Quando a função racional tem denominador fatorável em polinômios simples (aqui
e ), a técnica de frações parciais permite escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida. - Relembrando a forma geral: para fator
repetido usamos termos do tipo ; para fator quadrático irredutível usamos .
Assim, a forma proposta para a decomposição é
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Determinar as constantes (método de comparação de coeficientes). Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora desenvolvo os produtos e agrupo por potências de
:
Somando os termos semelhantes:
Como a igualdade vale para todo
, os coeficientes de cada potência devem coincidir com os coeficientes do polinômio constante
, que tem coeficientes
para
e
para
. Igualando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
A partir de
e
obtemos
e
.
Passo 4
Reescrever a decomposição com os coeficientes encontrados. Substituindo
,
,
,
na expressão da Passo 2:
Essa forma é muito mais simples para integrar termo a termo.
Passo 5
Integrar cada termo, lembrando as fórmulas básicas (aulas rápidas):
- Regra da potência: para
,
Aqui,
. Aplicando a regra com
:
- Integral da função arctangente: é conhecido que
Como temos um sinal negativo,
.
Agora integro a soma:
Passo 6
Verificação rápida (por derivação) — para garantir que não cometi erro:
-
. -
.
Somando:, que é a integranda original. Perfeito.