Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos disponível. O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{d x}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{1}{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}.
  • É uma integral indefinida — devemos encontrar uma primitiva (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (explicação pedagógica). Vou usar decomposição em frações parciais. Por que?
  • Quando a função racional tem denominador fatorável em polinômios simples (aqui x^{2} e x^{2}+1), a técnica de frações parciais permite escrever a função como soma de termos mais simples cuja integral é conhecida.
  • Relembrando a forma geral: para fator x^{2} repetido usamos termos do tipo \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}; para fator quadrático irredutível x^{2}+1 usamos \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}.
    Assim, a forma proposta para a decomposição é
\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Determinar as constantes (método de comparação de coeficientes). Multiplico ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) para eliminar denominadores:
1 = A x(x^{2}+1) + B(x^{2}+1) + (Cx+D)x^{2}.
Agora desenvolvo os produtos e agrupo por potências de x:
1 = A x^{3} + A x + B x^{2} + B + C x^{3} + D x^{2}.
Somando os termos semelhantes:
1 = (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A x + B.
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de cada potência devem coincidir com os coeficientes do polinômio constante 1, que tem coeficientes 0 para x^{3},x^{2},x e 1 para x^{0}. Igualando coeficientes:
  • Coeficiente de x^{3}: A + C = 0.
  • Coeficiente de x^{2}: B + D = 0.
  • Coeficiente de x^{1}: A = 0.
  • Coeficiente de x^{0}: B = 1.
A partir de A=0 e B=1 obtemos C = -A = 0 e D = -B = -1.

Passo 4

Reescrever a decomposição com os coeficientes encontrados. Substituindo A=0, B=1, C=0, D=-1 na expressão da Passo 2:
\frac{1}{x^{2}(x^{2}+1)}=\frac{0}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{0\cdot x-1}{x^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}+1}.
Essa forma é muito mais simples para integrar termo a termo.

Passo 5

Integrar cada termo, lembrando as fórmulas básicas (aulas rápidas):
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui, \dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}. Aplicando a regra com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
  • Integral da função arctangente: é conhecido que
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Como temos um sinal negativo, \int -\dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx = -\arctan x.
Agora integro a soma:
\int \left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)dx = \int \frac{1}{x^{2}}dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}dx = -\frac{1}{x} - \arctan x + C.

Passo 6

Verificação rápida (por derivação) — para garantir que não cometi erro:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(-\arctan x\right) = -\dfrac{1}{1+x^{2}}.
    Somando: \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{1}{1+x^{2}} = \dfrac{1}{x^{2}(x^{2}+1)}, que é a integranda original. Perfeito.

Resposta

-\dfrac{1}{x}-\arctan x + C

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