Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A integranda é
. - A variável de integração é
. - A função
está definida para ; portanto a integral é considerada no domínio . - O que se pede é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que . - Vou apresentar todos os passos para transformar a integral num cálculo mais simples e obter a primitiva explícita.
Passo 2
Troca de variável (substituição) para simplificar a parte
. Defino a substituição
Explico por que: a presença de
dentro do cosseno sugere passar a variável para
para ficar com funções trigonométricas simples em
. Agora calculemos os diferenciais:
Substituindo na integral original:
Defino para facilitar:
Passo 3
Estratégia para calcular
. Vou usar integração por partes duas vezes — é um método básico e direto aqui. Lembrete da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
e
de modo conveniente.
Passo 4
Primeira aplicação de integração por partes em
. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Chamo a nova integral de
logo
Passo 5
Segunda aplicação de integração por partes para calcular
. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Mas
é exatamente
. Portanto
Passo 6
Volto para a relação obtida no Passo 4, que era
. Substituo
da equação do Passo 5:
Desenvolvendo:
Agora somo
aos dois lados:
Finalmente:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Volto para a variável original
. Lembre que
e
. Substituindo:
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivo a primitiva encontrada para ver se volto à integranda.
Calculo . Pela regra do produto e cadeia,
Calculo
No segundo termo o
cancela, ficando
Somando os termos:
Confere, então a primitiva está correta.