Calcule as integrais:
\int \cos (\ln (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é \cos(\ln(x)).
  • A variável de integração é x.
  • A função \ln(x) está definida para x>0; portanto a integral é considerada no domínio x>0.
  • O que se pede é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\cos(\ln(x)).
  • Vou apresentar todos os passos para transformar a integral num cálculo mais simples e obter a primitiva explícita.

Passo 2

Troca de variável (substituição) para simplificar a parte \ln(x). Defino a substituição
u=\ln(x).
Explico por que: a presença de \ln(x) dentro do cosseno sugere passar a variável para u para ficar com funções trigonométricas simples em u. Agora calculemos os diferenciais:
x=e^{u}\quad\text{e}\quad dx=e^{u}\,du.
Substituindo na integral original:
\int \cos\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,e^{u}\,du.
Defino para facilitar:
I=\int e^{u}\cos(u)\,du.

Passo 3

Estratégia para calcular I=\int e^{u}\cos(u)\,du. Vou usar integração por partes duas vezes — é um método básico e direto aqui. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int p\,dq = p q - \int q\,dp,
onde escolhemos p e dq de modo conveniente.

Passo 4

Primeira aplicação de integração por partes em I. Escolho
p=e^{u},\qquad dq=\cos(u)\,du.
Então
dp=e^{u}\,du,\qquad q=\sin(u).
Aplicando a fórmula:
I = e^{u}\sin(u) - \int \sin(u)\,e^{u}\,du.
Chamo a nova integral de
J=\int e^{u}\sin(u)\,du,
logo
I = e^{u}\sin(u) - J.

Passo 5

Segunda aplicação de integração por partes para calcular J. Escolho
p=e^{u},\qquad dq=\sin(u)\,du.
Então
dp=e^{u}\,du,\qquad q=-\cos(u).
Aplicando a fórmula:
J = -e^{u}\cos(u) - \int (-\cos(u))\,e^{u}\,du = -e^{u}\cos(u) + \int e^{u}\cos(u)\,du.
Mas \int e^{u}\cos(u)\,du é exatamente I. Portanto
J = -e^{u}\cos(u) + I.

Passo 6

Volto para a relação obtida no Passo 4, que era I = e^{u}\sin(u) - J. Substituo J da equação do Passo 5:
I = e^{u}\sin(u) - \bigl(-e^{u}\cos(u) + I\bigr).
Desenvolvendo:
I = e^{u}\sin(u) + e^{u}\cos(u) - I.
Agora somo I aos dois lados:
2I = e^{u}\bigl(\sin(u)+\cos(u)\bigr).
Finalmente:
I = \frac{1}{2}\,e^{u}\bigl(\sin(u)+\cos(u)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Volto para a variável original x. Lembre que u=\ln(x) e e^{u}=x. Substituindo:
\int \cos\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = I = \frac{1}{2}\,x\Bigl(\sin\bigl(\ln(x)\bigr)+\cos\bigl(\ln(x)\bigr)\Bigr) + C.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivo a primitiva encontrada para ver se volto à integranda.
Calculo F(x)=\dfrac{1}{2}x\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr). Pela regra do produto e cadeia,
F'(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\Bigr) +\frac{1}{2}x\Bigl(\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}-\sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\Bigr).
No segundo termo o x cancela, ficando
F'(x)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr) +\frac{1}{2}\bigl(\cos(\ln x)-\sin(\ln x)\bigr).
Somando os termos:
F'(x)=\cos(\ln x).
Confere, então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x}{2}\bigl(\sin(\ln(x))+\cos(\ln(x))\bigr)+C

Exercícios relacionados