Calcule as integrais:
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^{4}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^{4}+4}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é [0,+\infty).
  • A integranda é \dfrac{x}{x^{4}+4}, uma função racional com denominador do quarto grau.
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia inicial: fatorar o polinômio do denominador para possibilitar uma decomposição em frações parciais simples. Observe que
x^{4}+4=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2).
Verificação rápida (multiplicando os fatores):
(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)=x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+4=x^{4}+4,
logo a fatoração está correta.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{x}{x^{4}+4}=\frac{Ax+B}{x^{2}+2x+2}+\frac{Cx+D}{x^{2}-2x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)\) obtemos a identidade polinomial \[x=(Ax+B)(x^{2}-2x+2)+(Cx+D)(x^{2}+2x+2).
Expandindo e agrupando coeficientes resulta no sistema para os coeficientes de potências de x:
\begin{cases} x^{3}: & A+C=0,\\[4pt] x^{2}: & -2A+B+2C+D=0,\\[4pt] x^{1}: & 2A-2B+2C+2D=1,\\[4pt] x^{0}: & 2B+2D=0. \end{cases}
Da última equação vem B+D=0\], ou seja \(D=-B. Da primeira vem C=-A. Substituindo em x^{2}:
-2A+B+2(-A)+(-B)=-4A=0\quad\Rightarrow\quad A=0,
portanto C=0. Com A=C=0 e D=-B, a equação de x^{1} fica
-2B+2(-B)=-4B=1\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{4},\quad D=\tfrac{1}{4}.
Assim a decomposição é
\frac{x}{x^{4}+4}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}+2x+2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}-2x+2}.]

Passo 4

Reescrevemos os quadráticos por completar o quadrado:
x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1,\qquad x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
Logo a integranda fica
\frac{x}{x^{4}+4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{(x-1)^{2}+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}+1}\right).
Portanto a integral é
I=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{4}+4}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{(x-1)^{2}+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}+1}\right)dx.

Passo 5

Usamos a primitiva básica \displaystyle \int\frac{du}{u^{2}+1}=\arctan(u)+C. Aplicando com u=x-1 e u=x+1 obtemos
\int\frac{1}{(x-1)^{2}+1}\,dx=\arctan(x-1),\qquad \int\frac{1}{(x+1)^{2}+1}\,dx=\arctan(x+1).
Assim
I=\frac{1}{4}\Big[\arctan(x-1)-\arctan(x+1)\Big]_{0}^{\infty}.
Agora calculamos os limites:
  • Para x\to\infty, \arctan(x-1)\to \tfrac{\pi}{2} e \arctan(x+1)\to \tfrac{\pi}{2}, logo a diferença no limite superior é 0.
  • No ponto x=0, temos \arctan(-1)=-\tfrac{\pi}{4} e \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, então a diferença é -\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{2}.
    Subtraindo limite superior menos inferior:
I=\frac{1}{4}\left(0-(-\tfrac{\pi}{2})\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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