Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja uma expressão
tal que . - Deixe a constante de integração
ao final.
Passo 2
Vamos lembrar e justificar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar potências de seno: a identidade de redução de potência. Parte-se da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Isolando
obtemos a identidade de redução de potência:
Explicando em palavras: essa fórmula troca uma potência quadrada de seno por uma combinação linear de uma constante e um cosseno de ângulo duplo, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicamos a identidade com
. Logo
Assim a integral fica
Passo 4
Integramos termo a termo. Primeiro separo a constante:
Agora usamos uma regra básica de integração: para
,
Isso vem da regra da cadeia invertida: a derivada de
é
, então para obter
divide-se por
.
Passo 5
Aplicando a regra:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando o resultado deve-se voltar ao integrando.
confirmando que a primitiva está correta.