Calcule as integrais:
\int \operatorname{sen}^{2}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(3x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \operatorname{sen}^{2}(3x).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, ou seja uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{2}(3x).
  • Deixe a constante de integração C ao final.

Passo 2

Vamos lembrar e justificar uma identidade trigonométrica muito útil para integrar potências de seno: a identidade de redução de potência. Parte-se da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2\theta)=1-2\operatorname{sen}^{2}\theta.
Isolando \operatorname{sen}^{2}\theta obtemos a identidade de redução de potência:
\operatorname{sen}^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Explicando em palavras: essa fórmula troca uma potência quadrada de seno por uma combinação linear de uma constante e um cosseno de ângulo duplo, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicamos a identidade com \theta=3x. Logo
\operatorname{sen}^{2}(3x)=\frac{1-\cos(2\cdot 3x)}{2}=\frac{1-\cos(6x)}{2}.
Assim a integral fica
\int \operatorname{sen}^{2}(3x)\,dx=\int \frac{1-\cos(6x)}{2}\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo. Primeiro separo a constante:
\int \frac{1-\cos(6x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx-\frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx.
Agora usamos uma regra básica de integração: para a\neq 0,
\int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax).
Isso vem da regra da cadeia invertida: a derivada de \sin(ax) é a\cos(ax), então para obter \cos(ax) divide-se por a.

Passo 5

Aplicando a regra:
\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{1}{2}x, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)=\frac{1}{12}\sin(6x).
Portanto
\int \operatorname{sen}^{2}(3x)\,dx=\frac{x}{2}-\frac{1}{12}\sin(6x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando o resultado deve-se voltar ao integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{12}\sin(6x)+C\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\cdot 6\cos(6x) =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(6x)=\frac{1-\cos(6x)}{2}=\operatorname{sen}^{2}(3x),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{12}\sin(6x)+C

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