Calcule as integrais:
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{2 x}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{2 x}+1\right)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
\text{integrando}=\frac{e^{x}}{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{2 x}+1\right)},
a variável de integração é x e aparece a função exponencial e^{x}. Não há outras condições ou parâmetros no enunciado.

Passo 2

Fazemos a substituição natural para eliminar a exponencial e transformar a integral numa razão racional simples. Definimos
t=e^{x}.
Diferenciando, obtemos
dt=e^{x}\,dx,
ou seja dt=t\,dx e portanto e^{x}\,dx=dt. Substituindo na integral obtemos uma integral em t:
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{2 x}+1\right)}\,dx = \int \frac{1}{(t-2)\big(t^{2}+1\big)}\,dt.
Observação: como t=e^{x}>0, não teremos problema de divisão por zero em pontos negativos; continuamos com t variável real positiva, mas a decomposição em frações parciais vale em geral.

Passo 3

Agora é uma integral racional
\int \frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)}\,dt.
Vamos decompor em frações parciais. Como t-2 é um fator linear distinto de t^{2}+1 (este último irreduzível sobre \mathbb{R}), a forma geral da decomposição é
\frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)}=\frac{A}{t-2}+\frac{Bt+C}{t^{2}+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela denominação (t-2)(t^{2}+1) para obter a identidade entre polinômios:
1 = A(t^{2}+1) + (Bt+C)(t-2).
Expandindo o lado direito:
1 = A t^{2} + A + (Bt+C)t -2(Bt+C) = A t^{2} + A + B t^{2} + C t -2B t -2C.
Agrupando termos por potências de t:
1 = (A+B)t^{2} + (-2B + C)t + (A-2C).
Para que essa igualdade de polinômios seja verdadeira para todo t, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] -2B + C = 0,\\[4pt] A - 2C = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvemos o sistema passo a passo. Da primeira equação A+B=0 temos
B=-A.
Da segunda equação -2B+C=0 substituindo B=-A
-2(-A)+C = 0 \quad\Rightarrow\quad 2A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=-2A.
Substituindo C=-2A na terceira equação A-2C=1 tem-se
A - 2(-2A) = 1 \quad\Rightarrow\quad A +4A = 1 \quad\Rightarrow\quad 5A = 1,
logo
A=\frac{1}{5},\quad B=-\frac{1}{5},\quad C=-\frac{2}{5}.

Passo 6

Substituindo A,B,C na decomposição obtemos
\frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)} = \frac{1/5}{t-2} + \frac{-\tfrac{1}{5}t - \tfrac{2}{5}}{t^{2}+1}.
Escrevendo termo a termo:
\frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)} = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{t-2} - \frac{1}{5}\cdot\frac{t}{t^{2}+1} - \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{t^{2}+1}.
Agora integramos cada parcela em t. Usamos as primitivas conhecidas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{t-2}\,dt = \ln|t-2| + C, porque a derivada de \ln|t-2| é 1/(t-2).
  • \displaystyle \int \frac{t}{t^{2}+1}\,dt. Fazendo u=t^{2}+1, du=2t\,dt, então \int t/(t^{2}+1)\,dt = \tfrac{1}{2}\ln(t^{2}+1) + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt = \arctan t + C, pois \dfrac{d}{dt}\arctan t = 1/(1+t^{2}).

Passo 7

Aplicando as primitivas com os coeficientes:
\int \frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)}\,dt = \frac{1}{5}\ln|t-2| - \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1) - \frac{2}{5}\arctan t + C.
Simplificando os coeficientes:
\int \frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)}\,dt = \frac{1}{5}\ln|t-2| - \frac{1}{10}\ln(t^{2}+1) - \frac{2}{5}\arctan t + C.

Passo 8

Voltamos à variável original usando t=e^{x}. Substituindo t por e^{x} obtemos a primitiva da integral original:
\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{2 x}+1\right)}\,dx = \frac{1}{5}\ln\big|e^{x}-2\big| - \frac{1}{10}\ln\big(e^{2x}+1\big) - \frac{2}{5}\arctan\big(e^{x}\big) + C.
Dica final: você pode verificar derivando essa expressão e confirmando que retorna ao integrando; é um bom exercício para ganhar confiança antes da prova — você está indo bem, segue firme!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\ln\big|e^{x}-2\big|-\frac{1}{10}\ln\big(e^{2x}+1\big)-\frac{2}{5}\arctan\big(e^{x}\big)+C

Exercícios relacionados