Observação: como t=e^{x}>0, não teremos problema de divisão por zero em pontos negativos; continuamos com t variável real positiva, mas a decomposição em frações parciais vale em geral.
Passo 3
Agora é uma integral racional
\int \frac{1}{(t-2)(t^{2}+1)}\,dt.
Vamos decompor em frações parciais. Como t-2 é um fator linear distinto de t^{2}+1 (este último irreduzível sobre \mathbb{R}), a forma geral da decomposição é
Multiplicamos ambos os lados pela denominação (t-2)(t^{2}+1) para obter a identidade entre polinômios:
1 = A(t^{2}+1) + (Bt+C)(t-2).
Expandindo o lado direito:
1 = A t^{2} + A + (Bt+C)t -2(Bt+C) = A t^{2} + A + B t^{2} + C t -2B t -2C.
Agrupando termos por potências de t:
1 = (A+B)t^{2} + (-2B + C)t + (A-2C).
Para que essa igualdade de polinômios seja verdadeira para todo t, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] -2B + C = 0,\\[4pt] A - 2C = 1. \end{cases}]
Passo 5
Resolvemos o sistema passo a passo. Da primeira equação A+B=0 temos
Dica final: você pode verificar derivando essa expressão e confirmando que retorna ao integrando; é um bom exercício para ganhar confiança antes da prova — você está indo bem, segue firme!