Calcule as integrais: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{3}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{3}(x)\,dx.
Informações dadas: \tan^{3}(x) é a função integranda; o intervalo de integração é \left[0,\frac{\pi}{4}\right].
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeira ideia (explicada): quando temos potências ímpares de \tan, uma técnica eficiente é separar um fator \tan x e usar a identidade
\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1,
pois a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Isso permite fazer a substituição u=\tan x em um dos termos. Vou aplicar isso aqui: escrevo
Agora resolvo cada uma das duas integrais separadamente.
Passo 4
Integral \displaystyle \int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx: faço a substituição u=\tan x. Então du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Com isso
\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int u\,du=\frac{1}{2}u^{2}+C=\frac{1}{2}\tan^{2}x + C.
Explicação do passo: como du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, o fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx desaparece e sobra \tan x que vira u. A integral \int u\,du é \tfrac{1}{2}u^{2} porque a regra é \int u^{n}du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Passo 5
Integral \displaystyle \int \tan x\,dx: lembramos que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma primitiva conhecida é
\int \tan x\,dx=-\ln\big|\cos x\big|+C.
Explicação: isso pode ser visto fazendo v=\cos x, dv=-\sin x\,dx; então \int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{dv}{v}=-\ln|v|+C.
Passo 6
Juntando os resultados obtidos em forma de primitiva para a integral indefinida:
\int \tan^{3}x\,dx=\frac{1}{2}\tan^{2}x + \ln\big|\cos x\big| + C.
(isto vem de \int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}\tan^{2}x e -\int \tan x\,dx = -(-\ln|\cos x|)=+\ln|\cos x|.)