Calcule as integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{3}(x)\,dx.
Informações dadas:
\tan^{3}(x) é a função integranda; o intervalo de integração é \left[0,\frac{\pi}{4}\right].
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeira ideia (explicada): quando temos potências ímpares de \tan, uma técnica eficiente é separar um fator \tan x e usar a identidade
\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1,
pois a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Isso permite fazer a substituição u=\tan x em um dos termos. Vou aplicar isso aqui: escrevo
\tan^{3}(x)=\tan^{2}(x)\cdot\tan x=(\operatorname{sec}^{2}(x)-1)\tan x.
Explicando a identidade: \tan^{2}x+\;1=\operatorname{sec}^{2}x vem da identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividida por \cos^{2}x.

Passo 3

Substituo a expressão obtida na integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{3}(x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\operatorname{sec}^{2}(x)-1)\tan x\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx.
Agora resolvo cada uma das duas integrais separadamente.

Passo 4

Integral \displaystyle \int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx: faço a substituição u=\tan x. Então du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Com isso
\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int u\,du=\frac{1}{2}u^{2}+C=\frac{1}{2}\tan^{2}x + C.
Explicação do passo: como du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, o fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx desaparece e sobra \tan x que vira u. A integral \int u\,du é \tfrac{1}{2}u^{2} porque a regra é \int u^{n}du=\tfrac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 5

Integral \displaystyle \int \tan x\,dx: lembramos que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Uma primitiva conhecida é
\int \tan x\,dx=-\ln\big|\cos x\big|+C.
Explicação: isso pode ser visto fazendo v=\cos x, dv=-\sin x\,dx; então \int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{dv}{v}=-\ln|v|+C.

Passo 6

Juntando os resultados obtidos em forma de primitiva para a integral indefinida:
\int \tan^{3}x\,dx=\frac{1}{2}\tan^{2}x + \ln\big|\cos x\big| + C.
(isto vem de \int \tan x\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tfrac{1}{2}\tan^{2}x e -\int \tan x\,dx = -(-\ln|\cos x|)=+\ln|\cos x|.)

Passo 7

Agora aplico os limites de integração: seja
F(x)=\frac{1}{2}\tan^{2}x + \ln\big|\cos x\big|.
Calculo F em x=\frac{\pi}{4} e em x=0.
Para x=\frac{\pi}{4}:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot 1^{2} + \ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{1}{2} + \ln\!\left(2^{-1/2}\right) =\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\ln 2.
Para x=0:
\tan 0=0,\qquad \cos 0=1,
portanto
F(0)=\frac{1}{2}\cdot 0^{2} + \ln(1)=0+0=0.

Passo 8

Subtraio os valores para obter a integral definida:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{3}(x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F(0) = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\right)-0 = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2

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