Calcule as integrais:
\int_{0}^{3} \frac{5}{\left(-\frac{x}{3}+3\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} \frac{5}{\left(-\frac{x}{3}+3\right)^{3}}\,dx.
Informações dadas:
\; - Integral definida com limites inferior x=0 e superior x=3.
\; - Integrando \displaystyle \frac{5}{\left(-\frac{x}{3}+3\right)^{3}}.
A tarefa é encontrar o valor numérico desta integral.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do integrando para ficar mais claro. Repare que
-\frac{x}{3}+3=\frac{-x+9}{3}=\frac{9-x}{3}.
Então
\left(-\frac{x}{3}+3\right)^{3}=\left(\frac{9-x}{3}\right)^{3}=\frac{(9-x)^{3}}{27}.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{3}\frac{5}{\left(-\frac{x}{3}+3\right)^{3}}\,dx =\int_{0}^{3}\frac{5}{\dfrac{(9-x)^{3}}{27}}\,dx =\int_{0}^{3}\frac{5\cdot 27}{(9-x)^{3}}\,dx =\int_{0}^{3}\frac{135}{(9-x)^{3}}\,dx.
Aqui usei a propriedade de frações \dfrac{a}{b/c}=a\cdot \dfrac{c}{b}.

Passo 3

Para integrar \displaystyle \frac{135}{(9-x)^{3}} é conveniente fazer a substituição
u=9-x.
Explico a ideia: queremos transformar a expressão no denominador numa potência simples de u, deixando a integral em termos de u. Diferenciando,
du=-dx\quad\text{ou}\quad dx=-du.
Muda também os limites: quando x=0 temos u=9; quando x=3 temos u=6. Substituindo na integral:
\int_{0}^{3}\frac{135}{(9-x)^{3}}\,dx =\int_{u=9}^{u=6}135\,u^{-3}(-du).
O fator - pode ser usado para inverter os limites:
\int_{u=9}^{u=6}135\,u^{-3}(-du)=\int_{u=6}^{u=9}135\,u^{-3}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para primitivas: se n\neq -1, então
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=-3. Assim
\int u^{-3}\,du=\frac{u^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}u^{-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}}.
Multiplicando pelo coeficiente 135,
\int 135\,u^{-3}\,du=135\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right)=-\frac{135}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}}.
Portanto uma antiderivada é
F(u)=-\frac{135}{2u^{2}}.

Passo 5

Avaliamo-la entre u=6 e u=9:
\int_{6}^{9}135\,u^{-3}\,du=F(9)-F(6) =-\frac{135}{2\cdot 9^{2}}-\left(-\frac{135}{2\cdot 6^{2}}\right).
Calcule cada termo:
\frac{135}{2\cdot 9^{2}}=\frac{135}{2\cdot 81}=\frac{135}{162}=\frac{5}{6},
pois 135/162=5/6. E
\frac{135}{2\cdot 6^{2}}=\frac{135}{2\cdot 36}=\frac{135}{72}=\frac{15}{8},
pois 135/72=15/8. Então
F(9)-F(6)=-\frac{5}{6}+ \frac{15}{8}=\frac{15}{8}-\frac{5}{6}.
Colocando em denominador comum 24:
\frac{15}{8}=\frac{45}{24},\qquad \frac{5}{6}=\frac{20}{24},
logo
\frac{45}{24}-\frac{20}{24}=\frac{25}{24}.

Passo 6

Concluímos que o valor da integral original é \dfrac{25}{24}.

Resposta

\dfrac{25}{24}

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