Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Passo 1
O problema pede o cálculo da integral
Informações fornecidas:
- A função a integrar é
. - Os limites são
e . - A região de integração é o conjunto de pontos
no primeiro quadrante (porque ) que satisfazem (ou seja, um quarto do disco de raio ).
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Porque a integranda depende de
, que em polares é simplesmente
. Além disso a região é um setor circular (um quarto de disco), que tem descrição simples em polares. Lembrete das fórmulas de mudança:
e o elemento de área em polares é
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Passo 3
Descrever a região em coordenadas polares. A condição
vira
, ou seja
Como
e
, temos
. Portanto a região é
Passo 4
Reescrevendo a integral em polares: a integranda
torna-se
, e
vira
. Assim
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
precisamos de
precisamos de
Fazemos integração por partes. Seja
(então
) e
(então
). Assim
A avaliação de
a
dá
Passo 6
Agora integramos em
sobre
a
. A expressão obtida da integral em
é independente de
, logo