Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\int_{0}^{\ln 2} \int_{0}^{\sqrt{\ln 2-y^{2}}} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y

Passo 1

O problema pede o cálculo da integral
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} \int_{0}^{\sqrt{\ln 2-y^{2}}} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dx\, dy.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Os limites são 0\le x\le \sqrt{\ln 2 - y^{2}} e 0\le y\le \sqrt{\ln 2}.
  • A região de integração é o conjunto de pontos (x,y) no primeiro quadrante (porque x\ge0,y\ge0) que satisfazem x^{2}+y^{2}\le \ln 2 (ou seja, um quarto do disco de raio \sqrt{\ln 2}).

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Porque a integranda depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que em polares é simplesmente r. Além disso a região é um setor circular (um quarto de disco), que tem descrição simples em polares. Lembrete das fórmulas de mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área em polares é
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Aqui r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.

Passo 3

Descrever a região em coordenadas polares. A condição x^{2}+y^{2}\le \ln 2 vira r^{2}\le \ln 2, ou seja
0\le r\le \sqrt{\ln 2}.
Como x\ge0 e y\ge0, temos 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}. Portanto a região é
\{(r,\theta)\mid 0\le r\le \sqrt{\ln 2},\; 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em polares: a integranda e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} torna-se e^{r}, e dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} \int_{0}^{\sqrt{\ln 2-y^{2}}} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dx\, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} e^{r}\, r\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
precisamos de
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} r e^{r}\, dr.
Fazemos integração por partes. Seja u=r (então du=dr) e dv=e^{r}dr (então v=e^{r}). Assim
\int r e^{r}\,dr = r e^{r} - \int e^{r}\,dr = r e^{r} - e^{r} + C = e^{r}(r-1)+C.
A avaliação de 0 a \sqrt{\ln 2}
\left[e^{r}(r-1)\right]_{0}^{\sqrt{\ln 2}} = e^{\sqrt{\ln 2}}\big(\sqrt{\ln 2}-1\big) - \big(e^{0}(0-1)\big) = e^{\sqrt{\ln 2}}\big(\sqrt{\ln 2}-1\big) + 1.

Passo 6

Agora integramos em \theta sobre 0 a \tfrac{\pi}{2}. A expressão obtida da integral em r é independente de \theta, logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(e^{\sqrt{\ln 2}}\big(\sqrt{\ln 2}-1\big) + 1\right)\, d\theta = \frac{\pi}{2}\left(e^{\sqrt{\ln 2}}\big(\sqrt{\ln 2}-1\big) + 1\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\left(e^{\sqrt{\ln 2}}\big(\sqrt{\ln 2}-1\big)+1\right)

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