Calcule as integrais:
\int_{0}^{4} \frac{t}{\sqrt{25-t^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \frac{t}{\sqrt{25-t^{2}}}\,dt.
Informações dadas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \dfrac{t}{\sqrt{25-t^{2}}}.
  • Os limites de integração são t=0 e t=4.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão \sqrt{25-t^{2}}. Tome
u = 25 - t^{2}.
Agora calculemos du. Diferenciando ambos os lados em relação a t obtemos
du = -2t\,dt.
Isolando t\,dt temos
t\,dt = -\frac{1}{2}\,du.
Também precisamos transformar os limites: quando t=0 temos u=25-0^{2}=25; quando t=4 temos u=25-4^{2}=25-16=9.

Passo 3

Substituímos na integral original. Note que \sqrt{25-t^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2} e que t\,dt=-\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int_{0}^{4} \frac{t}{\sqrt{25-t^{2}}}\,dt = \int_{u=25}^{u=9} \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{u^{1/2}} = -\frac{1}{2}\int_{25}^{9} u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Para integrar usamos a regra da potência para primitivação: se p\neq -1 então
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1}.
Aqui p=-\tfrac{1}{2}, então uma primitiva de u^{-1/2} é
\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
Aplicando isso na integral com o fator -\tfrac{1}{2}:
-\frac{1}{2}\int_{25}^{9} u^{-1/2}\,du = -\frac{1}{2}\Big[2u^{1/2}\Big]_{25}^{9} = -\big[u^{1/2}\big]_{25}^{9}.
Agora avaliamos nos limites:
-\big[\sqrt{u}\big]_{25}^{9} = -\big(\sqrt{9}-\sqrt{25}\big) = -(3-5)=2.

Passo 5

Confirme mentalmente: o valor ficou positivo porque a raiz em t=4 é menor que em t=0, e o sinal negativo da substituição inverteu a ordem dos limites efetivamente; o cálculo acima já tratou isso corretamente. Se preferir, dá para resolver também por t=5\sin\theta (substituição trigonométrica) e obter o mesmo resultado 2.

Resposta

\;2

Exercícios relacionados