Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
Passo 2
Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão
. Tome
Agora calculemos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Também precisamos transformar os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Substituímos na integral original. Note que
e que
. Assim
Passo 4
Para integrar usamos a regra da potência para primitivação: se
então
Aqui
, então uma primitiva de
é
Aplicando isso na integral com o fator
:
Agora avaliamos nos limites:
Passo 5
Confirme mentalmente: o valor ficou positivo porque a raiz em
é menor que em
, e o sinal negativo da substituição inverteu a ordem dos limites efetivamente; o cálculo acima já tratou isso corretamente. Se preferir, dá para resolver também por
(substituição trigonométrica) e obter o mesmo resultado
.