Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações úteis dadas:
- A função
aparece no integrando, portanto a variável deve satisfazer (domínio natural do ). - O elemento diferencial é
e queremos uma primitiva (antiderivada) da expressão dada. - Não há outras condições; a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia (substituição): quando o integrando contém uma função composta do tipo
e aparece também
(ou um fator que é proporcional a
), é conveniente fazer a substituição
. Isso simplifica a integral para uma em
.
Aqui vê-se claramente
e também o fator
multiplicando
. Como a derivada de
é
, a escolha natural é
Explicando a técnica: se
então
. Trocar de variável transforma integrais em
para integrais em
, muitas vezes simplificando a expressão.
Passo 3
Aplicando a substituição
. Calculamos
:
Logo
. Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular
.
Observação: a derivada de
é
. Assim o numerador
é proporcional a essa derivada; escrevemos
Usamos a fórmula padrão (caso comum de substituição interna):
Aqui
e
. Portanto
Obs.: não é necessário usar valor absoluto porque
para todo
.
Passo 5
Voltar à variável
fazendo
. Assim a primitiva obtida é
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar): tomar
Usando regra da cadeia,
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: reconheça padrões. Se encontrar algo como
a primitiva será
. Se encontrar
a primitiva será
. Esses padrões salvam tempo se você identificá-los rápido.