Calcule as integrais:
\int \frac{\ln x}{x\left[1+(\ln x)^{2}\right]} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln x}{x\left[1+(\ln x)^{2}\right]}\,dx.
Informações úteis dadas:
  • A função \ln x aparece no integrando, portanto a variável x deve satisfazer x>0 (domínio natural do \ln).
  • O elemento diferencial é dx e queremos uma primitiva (antiderivada) da expressão dada.
  • Não há outras condições; a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (substituição): quando o integrando contém uma função composta do tipo g(x) e aparece também g'(x) (ou um fator que é proporcional a g'(x)), é conveniente fazer a substituição u=g(x). Isso simplifica a integral para uma em u.
Aqui vê-se claramente \ln x e também o fator 1/x multiplicando dx. Como a derivada de \ln x é 1/x, a escolha natural é
u=\ln x.
Explicando a técnica: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx. Trocar de variável transforma integrais em x para integrais em u, muitas vezes simplificando a expressão.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\ln x. Calculamos du:
du=\frac{1}{x}\,dx.
Logo \frac{dx}{x}=du. Substituindo na integral:
\int \frac{\ln x}{x\left[1+(\ln x)^{2}\right]}\,dx =\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \frac{u}{1+u^{2}}\,du.
Observação: a derivada de 1+u^{2} é 2u. Assim o numerador u é proporcional a essa derivada; escrevemos
\frac{u}{1+u^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2u}{1+u^{2}}.
Usamos a fórmula padrão (caso comum de substituição interna):
\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du=\ln|f(u)|+C.
Aqui f(u)=1+u^{2} e f'(u)=2u. Portanto
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du =\frac{1}{2}\int \frac{2u}{1+u^{2}}\,du =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+u^{2}\bigr)+C.
Obs.: não é necessário usar valor absoluto porque 1+u^{2}>0 para todo u.

Passo 5

Voltar à variável x fazendo u=\ln x. Assim a primitiva obtida é
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar): tomar
F(x)=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr).
Usando regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+(\ln x)^{2}}\cdot 2\ln x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =\frac{\ln x}{1+(\ln x)^{2}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{\ln x}{x\left[1+(\ln x)^{2}\right]},
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: reconheça padrões. Se encontrar algo como \dfrac{g(x)g'(x)}{1+[g(x)]^{2}} a primitiva será \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+[g(x)]^{2}\bigr). Se encontrar \dfrac{g'(x)}{1+[g(x)]^{2}} a primitiva será \arctan(g(x)). Esses padrões salvam tempo se você identificá-los rápido.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)+C

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