Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função
tal que .
O que está explícito: há uma composição envolvendodentro da raiz, e um fator multiplicando fora — isso sugere uma substituição simples.
Passo 2
Idea de substituição (por que funciona).
Se definirmos , então
. Note que
aparece exatamente na integral original, então a substituição elimina o
complicado e simplifica a raiz. Vamos fazer essa mudança:
Se definirmos
Passo 3
Aplicando a substituição
.
Como , temos
Como
Agora o problema é calcular
. Essa é uma integral padrão do tipo
com
.
Passo 4
Método para
: substituição trigonométrica.
Para integrar costuma-se usar
. Aqui tome
. Então:
Para integrar
Substituindo na integral:
Passo 5
Calcular
.
Use a identidade . Assim
Use a identidade
Integrando:
Usando
, obtemos
Passo 6
Voltar para a variável
.
Recordando que , temos
e
. Além disso
. Substituindo:
Recordando que
Portanto
Passo 7
Voltar à variável
(substituição inversa).
Lembrando que , substituímos
por
na primitiva:
Lembrando que
Comentário sobre domínio: a expressão
exige
, ou seja
para a parte real principal; como integral indefinida, a fórmula é válida onde a expressão está bem definida e estende-se por continuidade onde for apropriado.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, útil na prova).
Derivando a primitiva acima obtém-se de volta . A verificação é feita aplicando regra do produto e cadeia; isso confirma que a primitiva está correta.
Derivando a primitiva acima obtém-se de volta