Calcule as integrais:
\int e^{t} \sqrt{9-e^{2 t}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja uma função F(t) tal que F'(t)=e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}.
    O que está explícito: há uma composição envolvendo e^{t} dentro da raiz, e um fator e^{t} multiplicando fora — isso sugere uma substituição simples.

Passo 2

Idea de substituição (por que funciona).
Se definirmos u=e^{t}, então du=e^{t}\,dt. Note que e^{t}\,dt aparece exatamente na integral original, então a substituição elimina o dt complicado e simplifica a raiz. Vamos fazer essa mudança:

Passo 3

Aplicando a substituição u=e^{t}.
Como du=e^{t}\,dt, temos
\int e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}\,dt = \int \sqrt{9-u^{2}}\,du.
Agora o problema é calcular \int \sqrt{9-u^{2}}\,du. Essa é uma integral padrão do tipo \int \sqrt{a^{2}-u^{2}}\,du com a=3.

Passo 4

Método para \int \sqrt{9-u^{2}}\,du: substituição trigonométrica.
Para integrar \sqrt{a^{2}-u^{2}} costuma-se usar u=a\sin\theta. Aqui tome u=3\sin\theta. Então:
du=3\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{9-u^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta.
Substituindo na integral:
\int \sqrt{9-u^{2}}\,du = \int (3\cos\theta)\,(3\cos\theta)\,d\theta = 9\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcular 9\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Use a identidade \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
9\int \cos^{2}\theta\,d\theta = 9\int \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{9}{2}\int (1+\cos 2\theta)\,d\theta.
Integrando:
\frac{9}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C.
Usando \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos
\frac{9}{2}\theta + \frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta + C.

Passo 6

Voltar para a variável u.
Recordando que u=3\sin\theta, temos \sin\theta=\dfrac{u}{3} e \cos\theta=\dfrac{\sqrt{9-u^{2}}}{3}. Além disso \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{u}{3}\right). Substituindo:
\frac{9}{2}\theta = \frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{u}{3}\right), \qquad \frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{2}\cdot\frac{u}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-u^{2}}}{3}=\frac{u\sqrt{9-u^{2}}}{2}.
Portanto
\int \sqrt{9-u^{2}}\,du = \frac{u\sqrt{9-u^{2}}}{2} + \frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.

Passo 7

Voltar à variável t (substituição inversa).
Lembrando que u=e^{t}, substituímos u por e^{t} na primitiva:
\int e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}\,dt = \frac{e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}}{2} + \frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{e^{t}}{3}\right) + C.
Comentário sobre domínio: a expressão \arcsin\!\left(\dfrac{e^{t}}{3}\right) exige \dfrac{e^{t}}{3}\in[-1,1], ou seja e^{t}\le3 para a parte real principal; como integral indefinida, a fórmula é válida onde a expressão está bem definida e estende-se por continuidade onde for apropriado.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, útil na prova).
Derivando a primitiva acima obtém-se de volta e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}. A verificação é feita aplicando regra do produto e cadeia; isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{e^{t}\sqrt{9-e^{2t}}}{2}+\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{e^{t}}{3}\right)+C

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