Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para
e calcular a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
ou seja, determinar se ela converge, achar uma fórmula para a soma parcial
, e então calcular o seu limite conforme
. O método mais direto aqui é usar o fato de que
, levando a um “efeito telescópio”.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral como diferença de logaritmos:
Passo 3
Formamos a soma parcial
Ao expandir, vemos o cancelamento em cadeia:
Passo 4
Depois de cancelar todos os termos intermediários, sobra
pois
.
Passo 5
Para verificar a convergência da série original, examinamos
Como o limite da soma parcial não é finito, a série diverge (mais precisamente, tende a
).
Resposta
A soma parcial é
e como
, a série diverge (não possui soma finita).