Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr),
ou seja, determinar se ela converge, achar uma fórmula para a soma parcial \;S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr), e então calcular o seu limite conforme N\to\infty. O método mais direto aqui é usar o fato de que \ln(n/(n+1))=\ln n-\ln(n+1), levando a um “efeito telescópio”.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como diferença de logaritmos:
\ln\!\biggl(\frac{n}{n+1}\biggr) =\ln n-\ln(n+1).

Passo 3

Formamos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln n-\ln(n+1)\bigr].
Ao expandir, vemos o cancelamento em cadeia:
S_{N}=(\ln1-\ln2)+(\ln2-\ln3)+\cdots+(\ln N-\ln(N+1)).

Passo 4

Depois de cancelar todos os termos intermediários, sobra
S_{N}=\ln1-\ln(N+1)=-\ln(N+1),
pois \ln1=0.

Passo 5

Para verificar a convergência da série original, examinamos
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\bigl[-\ln(N+1)\bigr] =-\infty.
Como o limite da soma parcial não é finito, a série diverge (mais precisamente, tende a -\infty).

Resposta

A soma parcial é
S_{N}=-\ln(N+1),
e como \lim_{N\to\infty}S_{N}=-\infty, a série diverge (não possui soma finita).

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