Calcule as integrais:
\int \frac{1}{e^{\sqrt{y}} \sqrt{y}} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \frac{1}{e^{\sqrt{y}}\sqrt{y}}\,dy.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos um radical e um exponencial que dependem de \sqrt{y}.

Passo 2

Definimos a substituição
t = \sqrt{y},
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y = t^2 \quad\text{e}\quad dy = 2t\,dt.
Além disso, e^{\sqrt{y}}=e^t e \sqrt{y}=t.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{e^{\sqrt{y}}\sqrt{y}}\,dy = \int \frac{1}{e^t\,t}\,\bigl(2t\,dt\bigr) = \int 2e^{-t}\,dt.
Agora a integral é direta em t.

Passo 4

A primitiva de e^{-t} é -e^{-t}. Logo,
\int 2e^{-t}\,dt = -2e^{-t} + C.
Voltando à variável y ( t=\sqrt{y}), a solução fica
-2e^{-\sqrt{y}} + C.

Resposta

-2e^{-\sqrt{y}} + C

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