Calcule as integrais:
\int(2 x-3)\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(2x-3)\bigl(x^{3}-2x\bigr)\,dx.
Isso é uma integral de polinômio: primeiro a gente expande o produto e depois integra termo a termo.

Passo 2

Expandindo o integrando,
(2x-3)\bigl(x^{3}-2x\bigr) =2x\cdot x^{3}-2x\cdot2x-3\cdot x^{3}+3\cdot2x =2x^{4}-4x^{2}-3x^{3}+6x.

Passo 3

Agora integramos cada monômio separadamente:
\int 2x^{4}\,dx =\frac{2}{5}x^{5}, \quad \int(-3x^{3})\,dx =-\frac{3}{4}x^{4},
\int(-4x^{2})\,dx =-\frac{4}{3}x^{3}, \quad \int 6x\,dx =3x^{2}.

Passo 4

Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int(2x-3)(x^{3}-2x)\,dx =\frac{2}{5}x^{5}-\frac{3}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+3x^{2}+C.

Resposta

\frac{2}{5}x^{5}-\frac{3}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+3x^{2}+C.

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