Calcule as integrais:
\int x \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Como temos o produto de x por \sin(x/2), o método mais direto é integração por partes, que vem da fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar a fórmula:
u = x,\qquad dv = \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Então
du = dx
e precisamos encontrar
v = \int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Para calcular v, note que
\int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
porque \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x/2)\bigr] = -\tfrac12\sin(x/2).

Passo 4

Agora aplicamos integração por partes:
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr)\;-\;\int\bigl(-2\cos\!\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
Isso dá
-2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +2\int \cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +2\cdot\bigl(2\sin\!\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Juntando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int x\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-2x\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +4\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Exercícios relacionados