Determine f(x) sabendo que
f^{\prime}(x)=x e^{x^{2}}+x^{2} \ln (x)+2 x^{3} \text { e } f(1)=2 .

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=x e^{x^{2}} + x^{2}\ln(x) + 2x^{3}
e a condição f(1)=2. Para encontrar f(x), vamos integrar cada termo de f'(x) e depois ajustar a constante de integração usando f(1)=2.

Passo 2

Integramos o primeiro termo por substituição. Seja u=x^{2}, logo du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Então
\int x e^{x^{2}}\,dx =\int e^{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}e^{u} =\frac{1}{2}e^{x^{2}}.

Passo 3

Para o segundo termo usamos integração por partes com
u=\ln(x),\quad dv=x^{2}dx
du=\frac{1}{x}dx,\quad v=\frac{x^{3}}{3}.
Logo
\int x^{2}\ln(x)\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{x^{3}}{9}.

Passo 4

O terceiro termo é direto pela regra da potência:
\int 2x^{3}\,dx =2\cdot\frac{x^{4}}{4} =\frac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Somando as integrais e acrescentando a constante C, obtemos
f(x) =\frac{1}{2}e^{x^{2}} +\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{x^{3}}{9} +\frac{x^{4}}{2} +C.

Passo 6

Impondo f(1)=2:
f(1) =\frac{1}{2}e +0 -\frac{1}{9} +\frac{1}{2} +C =2.
Logo
\frac{e}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{9}+C=2 \quad\Longrightarrow\quad C=2-\frac{e+1}{2}+\frac{1}{9} =\frac{29-9e}{18}.

Resposta

\boxed{% f(x) =\frac{1}{2}e^{x^{2}} +\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{x^{3}}{9} +\frac{x^{4}}{2} +\frac{29-9e}{18} }.

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