Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+3 x+5-2 x^{-1}+4 x^{-2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{2} + 3x + 5 - 2x^{-1} + 4x^{-2}\bigr)\,dx.
O conteúdo necessário inclui a linearidade da integral, a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1,
e a integral de x^{-1}, que é \displaystyle \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 2

Usamos a linearidade para separar a soma em múltiplas integrais:
\int x^{2}\,dx \;+\;\int 3x\,dx\;+\;\int 5\,dx\;-\;2\int x^{-1}\,dx\;+\;4\int x^{-2}\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência e o caso n=-1 a cada termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{2},\quad \int 5\,dx = 5x,
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert,\quad \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.

Passo 4

Multiplicando pelos coeficientes e somando tudo, obtemos
\frac{x^{3}}{3} \;+\;\frac{3x^{2}}{2}\;+\;5x\;-\;2\ln\lvert x\rvert\;+\;4\bigl(-x^{-1}\bigr)+C
que simplifica para
\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 5x - 2\ln\lvert x\rvert - \frac{4}{x} + C.

Resposta

\boxed{\int\bigl(x^{2} + 3x + 5 - 2x^{-1} + 4x^{-2}\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 5x - 2\ln\lvert x\rvert - \frac{4}{x} + C.}

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