Calcule as integrais:
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a aplicação da regra da potência para integrais.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever o integrando como soma de potências de x:
\sqrt{x}\,\Bigl(x+\frac{1}{x}\Bigr) = x^{1/2}\cdot x + x^{1/2}\cdot x^{-1} = x^{3/2} + x^{-1/2}.

Passo 3

Agora aplico a regra da potência:
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}, \qquad \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\,x^{1/2}.
Portanto, uma primitiva comum é
F(x) = \frac{2}{5}\,x^{5/2} + 2\,x^{1/2}.

Passo 4

Avalio de 1 a 2:
F(2)-F(1) = \Bigl(\frac{2}{5}\,2^{5/2} + 2\,2^{1/2}\Bigr) - \Bigl(\frac{2}{5}\,1^{5/2} + 2\,1^{1/2}\Bigr).
Como 2^{5/2}=4\sqrt{2} e 2^{1/2}=\sqrt{2}, temos
F(2)-F(1) = \frac{2\cdot4\sqrt{2}}{5} + 2\sqrt{2} - \Bigl(\frac{2}{5} + 2\Bigr) = \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{10\sqrt{2}}{5} - \frac{12}{5} = \frac{18\sqrt{2}-12}{5}.

Resposta

\int_{1}^{2} \sqrt{x}\Bigl(x+\tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx = \frac{18\sqrt{2}-12}{5}.

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