Calcule as integrais:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-2x-3}\,dx
Esse tipo de integral é de uma função racional cujo grau do numerador não é menor que o do denominador. Vamos primeiro fazer divisão de polinômios e depois usar frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{2} por x^{2}-2x-3, observamos que
x^{2} = \bigl(x^{2}-2x-3\bigr) + (2x+3),
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\frac{x^{2}}{x^{2}-2x-3} =1 + \frac{2x+3}{x^{2}-2x-3}.
Assim
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-2x-3}\,dx = \int 1\,dx \;+\;\int \frac{2x+3}{x^{2}-2x-3}\,dx.

Passo 3

Fatoramos o denominador
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1),
e decompondo em frações parciais temos
\frac{2x+3}{(x-3)(x+1)} =\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando em cruz:
2x+3 = A(x+1) + B(x-3) = (A+B)x + (A-3B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 2,\\\ A - 3B = 3, \end{cases}
resolve-se A=\tfrac{9}{4} e B=-\tfrac{1}{4}. Portanto
\frac{2x+3}{x^{2}-2x-3} =\frac{9/4}{x-3} \;-\;\frac{1/4}{x+1}.

Passo 4

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
\int \frac{x^{2}}{x^{2}-2x-3}\,dx = \int 1\,dx +\int \frac{9/4}{x-3}\,dx -\int \frac{1/4}{x+1}\,dx.
Isso dá
x + \frac{9}{4}\ln\bigl|x-3\bigr| -\frac{1}{4}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Resposta

x + \frac{9}{4}\ln\bigl|x-3\bigr| -\frac{1}{4}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

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