Calcule as integrais:
\int \operatorname{sen}^{3} x \cos ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{3}x \,\cos^{5}x \,dx.
Este é um caso de integração de potências de seno e cosseno em que uma das funções (aqui o seno) aparece com potência ímpar. Para resolver, vamos usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x e a substituição u=\cos x.

Passo 2

Separamos um fator \sin x e escrevemos \sin^{3}x como
\sin^{3}x = \sin x\;\sin^{2}x = \sin x\,(1-\cos^{2}x).
Assim a integral vira
\int \sin^{3}x \,\cos^{5}x \,dx = \int \sin x\,(1-\cos^{2}x)\,\cos^{5}x \,dx = \int \sin x\,\bigl(\cos^{5}x - \cos^{7}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos x \quad\Longrightarrow\quad du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -du.
Substituindo na integral,
\int \sin x\,\bigl(\cos^{5}x - \cos^{7}x\bigr)\,dx = \int -\bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\,du = -\int \bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\,du.

Passo 4

Expandimos e integramos termo a termo:
-\int \bigl(u^{5}-u^{7}\bigr)\,du = -\left(\int u^{5}\,du - \int u^{7}\,du\right).
Em bloco:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}, \qquad \int u^{7}\,du = \frac{u^{8}}{8}.
Logo,
-\left(\frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{8}}{8}\right) = -\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}.

Passo 5

Voltando à variável x (ou seja, u=\cos x), obtemos a antiderivada
\frac{\cos^{8}x}{8} - \frac{\cos^{6}x}{6} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{\cos^{8}x}{8} \;-\;\frac{\cos^{6}x}{6} + C.

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