Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser integrada é uma função racional (um polinômio dividido por
). - O denominador é
, logo a função não está definida em (ou seja, domínio: ). - Queremos uma primitiva (integral indefinida), então devemos adicionar uma constante de integração
ao final.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o numerador juntando termos semelhantes. No numerador temos
, que somam:
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora divido cada termo do numerador pelo denominador
para transformar a fração em soma de potências simples (isso é permitido porque
). Calculo cada divisão:
Logo o integrando simplifica para
A integral passa a ser
Passo 4
Vou usar as regras básicas de integração que precisamos aqui:
- Regra da linearidade:
e para constante . - Regra da potência (power rule): para
,
Aplicando termo a termo:
-
-
-
(Aqui usamos , então .) -
Somando todas as primitivas e acrescentando a constante
, obtemos a primitiva geral.
Passo 5
Reunindo os resultados dos itens anteriores, a primitiva da função é
Como verificação rápida: derivando essa expressão termo a termo retorna exatamente
, que é o integrando simplificado, então está correta.