Calcule as integrais
\int \frac{2 x^{4}+4 x^{4}+2 x^{3}+2 x-1}{2 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 x^{4}+4 x^{4}+2 x^{3}+2 x-1}{2 x^{3}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser integrada é uma função racional (um polinômio dividido por 2x^{3}).
  • O denominador é 2x^{3}, logo a função não está definida em x=0 (ou seja, domínio: x\neq0).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), então devemos adicionar uma constante de integração C ao final.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o numerador juntando termos semelhantes. No numerador temos 2x^{4}+4x^{4}, que somam:
2x^{4}+4x^{4}=6x^{4}.
Portanto a integral fica
\int \frac{6x^{4}+2x^{3}+2x-1}{2x^{3}}\,dx.

Passo 3

Agora divido cada termo do numerador pelo denominador 2x^{3} para transformar a fração em soma de potências simples (isso é permitido porque \dfrac{a+b+c}{d}=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}+\dfrac{c}{d}). Calculo cada divisão:
\frac{6x^{4}}{2x^{3}}=3x, \qquad \frac{2x^{3}}{2x^{3}}=1, \qquad \frac{2x}{2x^{3}}=x^{-2}, \qquad \frac{-1}{2x^{3}}=-\tfrac{1}{2}x^{-3}.
Logo o integrando simplifica para
3x + 1 + x^{-2} - \tfrac{1}{2}x^{-3}.
A integral passa a ser
\int\bigl(3x + 1 + x^{-2} - \tfrac{1}{2}x^{-3}\bigr)\,dx.

Passo 4

Vou usar as regras básicas de integração que precisamos aqui:
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \displaystyle \int c\,f\,dx = c\int f\,dx para constante c.
  • Regra da potência (power rule): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  1. \displaystyle \int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}.
  2. \displaystyle \int 1\,dx = x.
  3. \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}. (Aqui usamos n=-2, então n+1=-1.)
  4. \displaystyle \int \left(-\tfrac{1}{2}x^{-3}\right)\,dx = -\tfrac{1}{2}\int x^{-3}\,dx = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = \frac{1}{4}x^{-2} = \frac{1}{4x^{2}}.
Somando todas as primitivas e acrescentando a constante C, obtemos a primitiva geral.

Passo 5

Reunindo os resultados dos itens anteriores, a primitiva da função é
\frac{3}{2}x^{2} + x - \frac{1}{x} + \frac{1}{4x^{2}} + C.
Como verificação rápida: derivando essa expressão termo a termo retorna exatamente 3x+1+x^{-2}-\tfrac{1}{2}x^{-3}, que é o integrando simplificado, então está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}x^{2} + x - \frac{1}{x} + \frac{1}{4x^{2}} + C

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